Suponha que as funções f e g sejam integráveis e que
integral1^2 f(x) d x=-4, integral1^5 f(x) d x=6, integral1^5 g(x) d x=8
Usando as propriedades da Integral Definida, calcule as integrais abaixo
(a) integral2^2 g(x) d x
© integral1^2 3 f(x) d x
(e) integral5^1[f(x)-g(x)] d x
(b) integral5^1 g(x) d x
(d) integral2^5 f(x) d x
(f) integral1^5[4 f(x)-g(x)] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e , que são integráveis, e algumas informações sobre as integrais delas em certos intervalos. Nosso objetivo é calcular várias integrais usando as propriedades da Integral Definida. Para isso, vamos precisar entender como manipular integrais em diferentes intervalos e como escalar funções dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma propriedade básica das integrais: se tivermos uma integral no mesmo limite inferior e superior, ou seja, integral2^2 g(x) dx = 0 , o resultado será zero. Isso porque não há área sob a curva quando os limites são iguais.
Então, para a parte (a), queremos calcular . Como os limites são iguais, direto:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): integrala^b h(x) dx = -integralb^a h(x) dx . Aqui, o limite inferior é maior que o superior. Uma propriedade importante é que inverter os limites de integração muda o sinal da integral:
integral5^1 g(x) dx = -integral1^5 g(x) dx = -8
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos para a parte ©: integrala^b k cdot h(x) dx = k cdot integrala^b h(x) dx . Aqui, temos uma constante multiplicando a função dentro da integral. A propriedade que usamos é:
integral1^2 3 f(x) dx = 3 cdot integral1^2 f(x) dx
Então, podemos colocar o 3 fora da integral:
3 cdot (-4) = -12
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, para a parte (d): integral1^5 f(x) dx = integral1^2 f(x) dx + integral2^5 f(x) dx . Sabemos que 6 = (-4) + integral2^5 f(x) dx e integral2^5 f(x) dx = 6 + 4 = 10 . Podemos usar a propriedade de que a integral de para mais a integral de para é igual à integral de para :
Substituindo os valores conhecidos:
Resolvendo para :

Passo 6

Vamos para a parte (e): integral5^1 [f(x) - g(x)] dx = integral5^1 f(x) dx - integral5^1 g(x) dx . Primeiro, usamos a propriedade da linearidade das integrais, que nos permite separar a integral da diferença em duas integrais separadas:
integral5^1 f(x) dx = -integral1^5 f(x) dx = -6
Já calculamos -6 - (-8) = -6 + 8 = 2 . Para , usamos a mesma propriedade de inverter os limites:
Agora, substituindo:

Passo 7

Finalmente, para a parte (f): integral1^5 [4 f(x) - g(x)] dx = 4 cdot integral1^5 f(x) dx - integral1^5 g(x) dx . Novamente, usamos a propriedade da linearidade das integrais:
4 cdot 6 - 8 = 24 - 8 = 16
Substituindo os valores conhecidos:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)

Exercícios relacionados