Suponha que as funções
e
sejam integráveis e que
Usando as propriedades da Integral Definida, calcule as integrais abaixo
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções,
e
, que são integráveis, e algumas informações sobre as integrais delas em certos intervalos. Nosso objetivo é calcular várias integrais usando as propriedades da Integral Definida. Para isso, vamos precisar entender como manipular integrais em diferentes intervalos e como escalar funções dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma propriedade básica das integrais: se tivermos uma integral no mesmo limite inferior e superior, ou seja,
, o resultado será zero. Isso porque não há área sob a curva quando os limites são iguais.
Então, para a parte (a), queremos calcular
. Como os limites são iguais, direto:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
. Aqui, o limite inferior é maior que o superior. Uma propriedade importante é que inverter os limites de integração muda o sinal da integral:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Vamos para a parte ©:
. Aqui, temos uma constante multiplicando a função dentro da integral. A propriedade que usamos é:
Então, podemos colocar o 3 fora da integral:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, para a parte (d):
. Sabemos que
e
. Podemos usar a propriedade de que a integral de
para
mais a integral de
para
é igual à integral de
para
:
Substituindo os valores conhecidos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Vamos para a parte (e):
. Primeiro, usamos a propriedade da linearidade das integrais, que nos permite separar a integral da diferença em duas integrais separadas:
Já calculamos
. Para
, usamos a mesma propriedade de inverter os limites:
Agora, substituindo:
Passo 7
Finalmente, para a parte (f):
. Novamente, usamos a propriedade da linearidade das integrais:
Substituindo os valores conhecidos:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)