Calcule as integrais definidas abaixo usando uma substituição adequada
(a)
(g)
(m)
(b)
(h)
(n)
©
(i)
(o)
(d)
(j)
§
(e)
(k)
(q)
(f)
(l)
®
(a)
(g)
(m)
(b)
(h)
(n)
©
(i)
(o)
(d)
(j)
§
(e)
(k)
(q)
(f)
(l)
®
Passo 1
Para (a) usamos a substituição
, logo
e
. Quando
temos
e para
temos
. A integral vira
Passo 2
Para (b) tomamos
, assim
e
. Os limites vão de
até
. A integral fica
Passo 3
Para © fazemos
u=5x+1 , logo
du=5,dx e
dx=du/5 . Para
x=0 vem
u=1 e para
x=3 vem
u=16 . A integral é
Passo 4
Em (d) definimos
u=1/x , então
du=-1/x^2,dx , isto é
dx/x^2=-du . Quando
x=1 temos
u=1 e
x=2 dá
u=1/2 . A integral torna-se
Passo 5
Em (e) percebemos que
d(e^x+x)=e^x+1,dx . Logo
Passo 6
Para (f) use
u=e^x , logo
du=e^xdx . De
x=0 a
x=lnraiz3 temos
u=1 a
u=raiz3 . A integral é
Passo 7
No item (g) tomamos
u=ln t , assim
du=dt/t e
t=1to u=0,,t=2to u=ln2 . Fica
Passo 8
Para (h) deixamos
u=ln t , logo
du=dt/t , e os limites vão de
ln2 a
ln4 . A integral é
Passo 9
Em (i) usamos
u=ln t , então
du=dt/t . Para
t=e temos
u=1 e para
t=e^4 temos
u=4 . Logo
Passo 10
No (j) fazemos
u=t-1 , onde
du=dt e
t=u+1 . Os limites vão de
u=0 a
u=1 . A integral vira
Passo 11
Para (k) tomamos
u=a^2-t^2 , logo
du=-2t,dt e
t,dt=-du/2 . De
t=0 a
t=a temos
u=a^2 a
0 . Assim
Passo 12
Em (l) note que
d(arcsin(t/2))=dt/raiz4-t^2 . Então
Passo 13
No (m) definimos
u=tfracpitheta2 , logo
du=tfracpi2dtheta e
dtheta=2du/pi . Os limites vão de
0 a
pi/2 . Fica
Passo 14
Para (n) tomamos
u=costheta , logo
du=-sintheta,dtheta . De
theta=0 a
pi/6 vem
u=1 a
raiz3/2 . A integral é
Passo 15
No (o) usamos
u=tantheta , assim
du=sec^2theta,dtheta e
theta=0to u=0,,theta=pi/4to u=1 . Então
Passo 16
Em § definimos
u=1-cos3theta , logo
du=3sin3theta,dtheta e
sin3theta,dtheta=du/3 . Para
theta=0 a
pi/6 vai
u=0 a
1 . A integral fica
Passo 17
Para (q) fazemos
u=3theta , então
du=3,dtheta e
dtheta=du/3 . Os limites vão de
0 a
pi/4 . Logo
Passo 18
No ® usamos
u=sintheta , assim
du=costheta,dtheta . De
0 a
pi/2 vai
u=0 a
1 . Portanto
Resposta
(a)
tfrac4528 ; (b)
tfrac2^51+1153 ; ©
tfrac4ln25 ; (d)
e-raiz e ; (e)
ln(e+1) ; (f)
tfracpi12 ; (g)
(ln2)^2 ; (h)
ln2 ; (i)
2 ; (j)
tfrac1615 ; (k)
tfraca^33 ; (l)
tfrac2pi3 ; (m)
tfrac2pi ; (n)
tfrac2raiz3-1 ; (o)
tfrac12 ; §
tfrac16 ; (q)
ln2 ; ®
1-cos1 .