Calcule as integrais definidas abaixo usando uma substituição adequada
(a) integral0^1 raiz[3]1+7 x d x
(g) integral1^2 2 ln tt d t
(m) integral0^1 cos (pi theta2) d theta
(b) integral0^1(3 x-1)^50 d x
(h) integral2^4 d tt ln t
(n) integral0^pi / 6 sen thetacos ^2 theta d theta
© integral0^3 d x5 x+1
(i) integrale^e^4 d tt raizln t
(o) integral0^pi / 4 tan theta sec ^2 theta d theta
(d) integral1^2 e^1xx^2 d x
(j) integral1^2 t raizt-1 d t
§ integral0^pi / 6(1-cos 3 theta) sen 3 theta d theta
(e) integral0^1 e^x+1e^x+x d x
(k) integral0^a t raiza^2-t^2 d t
(q) integral0^pi / 12 6 tan 3 theta d theta
(f) integral0^ln raiz3 e^x1+e^2 x d x
(l) integral0^1 4 d traiz4-t^2
® integral0^pi / 2 cos theta cdot sen(sen theta) d theta

Passo 1

Para (a) usamos a substituição u=1+7x, logo du=7,dx e dx=du/7. Quando x=0 temos u=1 e para x=1 temos u=8. A integral vira
17integral1^8u^1/3,du=17cdot34l[u^4/3r]1^8

Passo 2

Para (b) tomamos u=3x-1, assim du=3,dx e dx=du/3. Os limites vão de x=0to u=-1 até x=1to u=2. A integral fica
13integral-1^2u^50,du=13cdotu^5151|-1^2

Passo 3

Para © fazemos u=5x+1, logo du=5,dx e dx=du/5. Para x=0 vem u=1 e para x=3 vem u=16. A integral é
15integral1^16u^-1,du=15[ln u]1^16

Passo 4

Em (d) definimos u=1/x, então du=-1/x^2,dx, isto é dx/x^2=-du. Quando x=1 temos u=1 e x=2 u=1/2. A integral torna-se
integral1^2e^1/xx^2,dx=integral1^1/2e^u(-du)=integral1/2^1e^u,du

Passo 5

Em (e) percebemos que d(e^x+x)=e^x+1,dx. Logo
integral0^1e^x+1e^x+x,dx=integral0^1d(e^x+x)e^x+x=[ln(e^x+x)]0^1

Passo 6

Para (f) use u=e^x, logo du=e^xdx. De x=0 a x=lnraiz3 temos u=1 a u=raiz3. A integral é
integral1^raiz3du1+u^2=[arctan u]1^raiz3

Passo 7

No item (g) tomamos u=ln t, assim du=dt/t e t=1to u=0,,t=2to u=ln2. Fica
integral1^22ln tt,dt=2integral0^ln2u,du=[u^2]0^ln2

Passo 8

Para (h) deixamos u=ln t, logo du=dt/t, e os limites vão de ln2 a ln4. A integral é
integralln2^2ln2duu=[ln u]ln2^2ln2

Passo 9

Em (i) usamos u=ln t, então du=dt/t. Para t=e temos u=1 e para t=e^4 temos u=4. Logo
integrale^e^4dttraizln t=integral1^4u^-1/2,du=[2raizu]1^4

Passo 10

No (j) fazemos u=t-1, onde du=dt e t=u+1. Os limites vão de u=0 a u=1. A integral vira
integral0^1(u+1)raizu,du=integral0^1(u^3/2+u^1/2),du=igl[tfrac25u^5/2+tfrac23u^3/2r]0^1 

Passo 11

Para (k) tomamos u=a^2-t^2, logo du=-2t,dt e t,dt=-du/2. De t=0 a t=a temos u=a^2 a 0. Assim
integral0^atraiza^2-t^2,dt=12integrala^2^0u^1/2(-du)=12integral0^a^2u^1/2,du

Passo 12

Em (l) note que d(arcsin(t/2))=dt/raiz4-t^2. Então
4integral0^1dtraiz4-t^2=4[arcsin(t/2)]0^1

Passo 13

No (m) definimos u=tfracpitheta2, logo du=tfracpi2dtheta e dtheta=2du/pi. Os limites vão de 0 a pi/2. Fica
2piintegral0^pi/2cos u,du=2pi[sin u]0^pi/2

Passo 14

Para (n) tomamos u=costheta, logo du=-sintheta,dtheta. De theta=0 a pi/6 vem u=1 a raiz3/2. A integral é
integral0^pi/6sinthetacos^2theta,dtheta=integral1^raiz3/2-duu^2=integralraiz3/2^1u^-2,du

Passo 15

No (o) usamos u=tantheta, assim du=sec^2theta,dtheta e theta=0to u=0,,theta=pi/4to u=1. Então
integral0^pi/4tanthetasec^2theta,dtheta=integral0^1u,du

Passo 16

Em § definimos u=1-cos3theta, logo du=3sin3theta,dtheta e sin3theta,dtheta=du/3. Para theta=0 a pi/6 vai u=0 a 1. A integral fica
13integral0^1u,du

Passo 17

Para (q) fazemos u=3theta, então du=3,dtheta e dtheta=du/3. Os limites vão de 0 a pi/4. Logo
6integral0^pi/12tan3theta,dtheta=2integral0^pi/4tan u,du

Passo 18

No ® usamos u=sintheta, assim du=costheta,dtheta. De 0 a pi/2 vai u=0 a 1. Portanto
integral0^pi/2costhetasin(sintheta),dtheta=integral0^1sin u,du

Resposta

(a) tfrac4528; (b) tfrac2^51+1153; © tfrac4ln25; (d) e-raiz e; (e) ln(e+1); (f) tfracpi12; (g) (ln2)^2; (h) ln2; (i) 2; (j) tfrac1615; (k) tfraca^33; (l) tfrac2pi3; (m) tfrac2pi; (n) tfrac2raiz3-1; (o) tfrac12; § tfrac16; (q) ln2; ® 1-cos1.

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