Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suas propriedades.
lim x 1(x^4+x^2-6x^4+2 x+3)^2

Passo 1

O enunciado pede
limxto1l(x^4+x^2-6x^4+2x+3r)^2
Vamos usar as propriedades de limite de soma e produto (continuidade de polinômios), limite de quociente (desde que o denominador no ponto não seja zero) e limite de potência (limite da função ao quadrado é o quadrado do limite).

Passo 2

Aplicando a propriedade de limite de potência (já que a função interna é limitada e a operação de elevar ao quadrado é contínua), temos
limxto1l(x^4+x^2-6x^4+2x+3r)^2 =l(limxto1x^4+x^2-6x^4+2x+3r)^2

Passo 3

Para calcular limxto1x^4+x^2-6x^4+2x+3, usamos a propriedade de limite de quociente. Como o denominador em x=1 não é zero, podemos escrever
limxto1x^4+x^2-6x^4+2x+3 =limxto1(x^4+x^2-6)limxto1(x^4+2x+3)

Passo 4

Como polinômios são contínuos,
limxto1(x^4+x^2-6) =1^4+1^2-6=-4,
limxto1(x^4+2x+3) =1^4+2cdot1+3=6

Passo 5

Logo
limxto1x^4+x^2-6x^4+2x+3 =-46=-23

Passo 6

Voltando ao quadrado,
l(-tfrac23r)^2 =49

Resposta

49

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