Determine os extremos relativos de f(x)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3 x_{1} x_{2}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os extremos relativos da função f definida por
f(x)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2},
onde aqui x=(x_{1},x_{2}) e o domínio implícito é \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes dadas:
A função é f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por \;f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2}.
A tarefa é encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificá-los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela (extremo relativo ou não).
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: calculamos o gradiente, que é o vetor das derivadas parciais. Lembrete rápido: a derivada parcial de f em relação a x_{1} é obtida derivando f como função de x_{1}, tratando x_{2} como constante, e vice-versa.
Uma verificação intuitiva para o ponto de sela (0,0): mostro que em direções diferentes o sinal de f muda (isso caracteriza sela). Tomando x_{1}=h,\;x_{2}=h com h pequeno e positivo,