Determine os extremos relativos de f(x)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3 x_{1} x_{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os extremos relativos da função f definida por
f(x)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2},
onde aqui x=(x_{1},x_{2}) e o domínio implícito é \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por \;f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2}.
  • A tarefa é encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificá-los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela (extremo relativo ou não).

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: calculamos o gradiente, que é o vetor das derivadas parciais. Lembrete rápido: a derivada parcial de f em relação a x_{1} é obtida derivando f como função de x_{1}, tratando x_{2} como constante, e vice-versa.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = 3x_{1}^{2} + 3x_{2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial x_{2}} = 3x_{2}^{2} + 3x_{1}.
Escrevendo o gradiente:
\nabla f(x_{1},x_{2}) = \begin{pmatrix}3x_{1}^{2}+3x_{2} \\[4pt] 3x_{2}^{2}+3x_{1}\end{pmatrix}.
Pontos críticos são soluções de \nabla f=0. Dividindo as equações por 3 (não altera as soluções), obtemos o sistema
\begin{cases} x_{1}^{2}+x_{2}=0,\\[4pt] x_{2}^{2}+x_{1}=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema de pontos críticos. Da primeira equação temos
x_{2} = -x_{1}^{2}.
Substituindo na segunda equação:
x_{2}^{2}+x_{1}= (-x_{1}^{2})^{2} + x_{1} = x_{1}^{4}+x_{1} = 0.
Fatorando:
x_{1}(x_{1}^{3}+1)=0.
Logo as soluções para x_{1} são x_{1}=0 ou x_{1}^{3}=-1\Rightarrow x_{1}=-1.
  • Se x_{1}=0, então x_{2}=-x_{1}^{2}=0. Ponto crítico: (0,0).
  • Se x_{1}=-1, então x_{2}=-(-1)^{2}=-1. Ponto crítico: (-1,-1).
Assim há exatamente dois pontos críticos: (0,0) e (-1,-1).

Passo 4

Classificar os pontos críticos usando a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas (caso clássico para funções de duas variáveis).
Lembrete didático: a matriz Hessiana H reúne as segundas derivadas parciais:
H(x_{1},x_{2}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}\\[6pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} \end{pmatrix}.
Para duas variáveis, define-se D = \det H = f_{x_{1}x_{1}}\,f_{x_{2}x_{2}} - (f_{x_{1}x_{2}})^{2}. O teste:
  • Se D>0 e f_{x_{1}x_{1}}>0 então mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{x_{1}x_{1}}<0 então máximo relativo.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} = 6x_{1},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} = 6x_{2},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} = 3.
Portanto a Hessiana é
H(x_{1},x_{2}) = \begin{pmatrix}6x_{1} & 3 \\[4pt] 3 & 6x_{2}\end{pmatrix}.
O determinante é
D(x_{1},x_{2}) = (6x_{1})(6x_{2}) - 3^{2} = 36x_{1}x_{2}-9 = 9(4x_{1}x_{2}-1).
Agora avaliamos nos pontos críticos.
Para (0,0):
D(0,0) = 9(4\cdot 0\cdot 0 -1) = 9(-1) = -9 <0.
Como D<0, pelo teste a conclusão é: (0,0) é um ponto de sela (saddle point).
Para (-1,-1):
x_{1}x_{2}=(-1)(-1)=1 \quad\Rightarrow\quad D(-1,-1)=9(4\cdot1-1)=9\cdot3=27>0.
Além disso
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}(-1,-1) = 6x_{1}|_{(-1,-1)} = 6(-1) = -6 <0.
Como D>0 e f_{x_{1}x_{1}}<0, isto indica que (-1,-1) é um máximo relativo.
Também calculamos os valores da função nesses pontos (útil para interpretação):
f(0,0)=0,\qquad f(-1,-1)=(-1)^{3}+(-1)^{3}+3(-1)(-1) = -1-1+3 = 1.]

Passo 5

Uma verificação intuitiva para o ponto de sela (0,0): mostro que em direções diferentes o sinal de f muda (isso caracteriza sela). Tomando x_{1}=h,\;x_{2}=h com h pequeno e positivo,
f(h,h)=h^{3}+h^{3}+3h^{2}=2h^{3}+3h^{2}\approx 3h^{2}>0.
Tomando x_{1}=h,\;x_{2}=-h,
f(h,-h)=h^{3}+(-h)^{3}+3h(-h)=0-3h^{2}=-3h^{2}<0.
Portanto arbitrariamente próximo da origem existem pontos com f>0 e pontos com f<0, confirmando que (0,0) é ponto de sela.

Resposta

Ponto crítico (0,0): ponto de sela (não é extremo relativo).
Ponto crítico (-1,-1): máximo relativo, com valor f(-1,-1)=1.

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