Calcule os limites a seguir, justificando com as Propriedades Aritméticas de Limites.
\lim _{x \rightarrow-2}\left(\frac{x^{3}+2}{x^{2}-3 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite e justificá-lo usando as Propriedades Aritméticas de Limites:
\lim_{x\to -2}\left(\frac{x^{3}+2}{x^{2}-3x}\right).
Informações dadas (explicitamente no enunciado): a expressão a ser analisada é a razão entre os polinômios x^{3}+2 (numerador) e x^{2}-3x (denominador), e a variável x tende para -2.

Passo 2

Relembrando as Propriedades Aritméticas de Limites que vamos usar (cada afirmação é válida se os limites envolvidos existem):
  • Soma: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M, então \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = L+M.
  • Produto por constante: se c é constante e \lim_{x\to a} f(x)=L, então \lim_{x\to a} c\cdot f(x) = c\cdot L.
  • Produto: \lim_{x\to a} (f(x)g(x)) = (\lim_{x\to a} f(x))(\lim_{x\to a} g(x)).
  • Quociente: se \lim_{x\to a} g(x)\neq 0, então \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}.
  • Potência / função polinomial: para qualquer inteiro n\ge 0, \lim_{x\to a} x^{n} = a^{n}; mais geralmente, limites de polinômios são obtidos substituindo x=a (polinômios são contínuos).
Aqui, vamos calcular separadamente o limite do numerador e do denominador usando soma/produto/constante/potência e depois aplicar a propriedade do quociente (se o limite do denominador for não-nulo).

Passo 3

Calcular o limite do numerador \,x^{3}+2 quando x\to -2.
Usando a propriedade da soma e a propriedade de potência/identidade:
\lim_{x\to -2}(x^{3}+2) = \lim_{x\to -2} x^{3} + \lim_{x\to -2} 2.
Agora cada termo:
\lim_{x\to -2} x^{3} = (-2)^{3} = -8, \qquad \lim_{x\to -2} 2 = 2.
Somando:
\lim_{x\to -2}(x^{3}+2) = -8 + 2 = -6.

Passo 4

Calcular o limite do denominador \,x^{2}-3x quando x\to -2.
Aplicando linearidade (soma) e produto por constante:
\lim_{x\to -2}(x^{2}-3x) = \lim_{x\to -2} x^{2} - \lim_{x\to -2} 3x.
Calcule cada um:
\lim_{x\to -2} x^{2} = (-2)^{2} = 4,
e usando produto por constante,
\lim_{x\to -2} 3x = 3\cdot \lim_{x\to -2} x = 3\cdot(-2) = -6.
Como o termo no denominador é x^{2}-3x, note que \lim_{x\to -2}(-3x)= - \lim_{x\to -2} 3x = -(-6)=6. Para manter as etapas claras, é equivalente computar diretamente:
\lim_{x\to -2}(x^{2}-3x)=4- ( -6)=4+6=10.

Passo 5

Verificar condição para usar a propriedade do quociente: temos \lim_{x\to -2} do denominador igual a 10, que é diferente de zero. Logo a propriedade do quociente se aplica.
Aplicando-a:
\lim_{x\to -2}\left(\frac{x^{3}+2}{x^{2}-3x}\right) = \frac{\lim_{x\to -2}(x^{3}+2)}{\lim_{x\to -2}(x^{2}-3x)} = \frac{-6}{10}.
Simplificando a fração:
\frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}.

Passo 6

Comentário didático rápido (truque útil para a prova): como numerador e denominador são polinômios, que são funções contínuas, pode-se também justificar o resultado dizendo simplesmente que para funções contínuas o limite ao ponto é o valor da função no ponto, isto é, avaliar a expressão em x=-2 diretamente dá o mesmo resultado. Mas a resolução acima mostrou passo a passo usando as Propriedades Aritméticas de Limites, como o enunciado pediu — isso é a forma “formal” que o professor costuma gostar.
Força aí — já era! Foi só aplicar as regras e substituir com cuidado.

Resposta

-\dfrac{3}{5}

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