Calcule os limites a seguir, justificando com as Propriedades Aritméticas de Limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite e justificá-lo usando as Propriedades Aritméticas de Limites:
Informações dadas (explicitamente no enunciado): a expressão a ser analisada é a razão entre os polinômios
(numerador) e
(denominador), e a variável
tende para
.
Passo 2
Relembrando as Propriedades Aritméticas de Limites que vamos usar (cada afirmação é válida se os limites envolvidos existem):
- Soma: se
e , então . - Produto por constante: se
é constante e , então . - Produto:
. - Quociente: se
, então . - Potência / função polinomial: para qualquer inteiro
, ; mais geralmente, limites de polinômios são obtidos substituindo (polinômios são contínuos).
Aqui, vamos calcular separadamente o limite do numerador e do denominador usando soma/produto/constante/potência e depois aplicar a propriedade do quociente (se o limite do denominador for não-nulo).
Passo 3
Calcular o limite do numerador
quando
.
Usando a propriedade da soma e a propriedade de potência/identidade:
Agora cada termo:
Somando:
Passo 4
Calcular o limite do denominador
quando
.
Aplicando linearidade (soma) e produto por constante:
Calcule cada um:
e usando produto por constante,
Como o termo no denominador é
, note que
. Para manter as etapas claras, é equivalente computar diretamente:
Passo 5
Verificar condição para usar a propriedade do quociente: temos
do denominador igual a
, que é diferente de zero. Logo a propriedade do quociente se aplica.
Aplicando-a:
Simplificando a fração:
Passo 6
Comentário didático rápido (truque útil para a prova): como numerador e denominador são polinômios, que são funções contínuas, pode-se também justificar o resultado dizendo simplesmente que para funções contínuas o limite ao ponto é o valor da função no ponto, isto é, avaliar a expressão em
diretamente dá o mesmo resultado. Mas a resolução acima mostrou passo a passo usando as Propriedades Aritméticas de Limites, como o enunciado pediu — isso é a forma “formal” que o professor costuma gostar.
Força aí — já era! Foi só aplicar as regras e substituir com cuidado.