Usando a definição \varepsilon, \delta de limite, demonstre que
\lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-2\right)=7

Passo 1

O enunciado pede demonstrar, usando a definição \varepsilon,\delta de limite, que
\lim_{x\to 3}\left(x^{2}-2\right)=7.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=x^{2}-2.
  • O ponto em que o limite é tomado é x\to 3.
  • O valor candidato do limite é 7.
O que precisamos provar formalmente: dado qualquer \varepsilon>0, encontrar um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, valha |f(x)-7|<\varepsilon.

Passo 2

Lembrete claro da definição \varepsilon,\delta (em linguagem simples):
  • \varepsilon>0 é a tolerância desejada no valor da função — quer dizer que queremos garantir que f(x) fique dentro do intervalo (7-\varepsilon,7+\varepsilon).
  • \delta>0 é a tolerância no argumento x — se x estiver dentro de \delta de 3 (exceto possivelmente em x=3 quando usamos 0<|x-3|<\delta), então garantimos que f(x) fica dentro de \varepsilon de 7.
Estratégia padrão que vamos usar (sem resolver ainda): manipular |f(x)-7| em termos de |x-3| e encontrar uma relação do tipo |f(x)-7|\le C\cdot|x-3| para algum C controlável; depois escolher \delta pequeno o suficiente para tornar C\cdot|x-3|<\varepsilon.

Passo 3

Calculemos a diferença que queremos controlar:
|f(x)-7| = \left|x^{2}-2-7\right| = \left|x^{2}-9\right|.
Fatorando a diferença de quadrados:
\left|x^{2}-9\right| = \left|x-3\right|\;\left|x+3\right|.
Portanto precisamos controlar \left|x-3\right|\left|x+3\right| por \varepsilon.

Passo 4

Para continuar, precisamos limitar \left|x+3\right| por uma constante quando x está perto de 3. Uma escolha comum e simples é restringir \delta para ser no máximo 1. Assim, suponha provisoriamente que
0<|x-3|<1.
A partir disso obtemos:
|x| \le |x-3| + |3| < 1 + 3 = 4,
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|x+3| \le |x| + 3 < 4 + 3 = 7.
Portanto, sempre que 0<|x-3|<1 valemos a estimativa útil
\left|x^{2}-9\right| = |x-3|\;|x+3| < 7\,|x-3|.

Passo 5

Com a desigualdade \left|x^{2}-9\right| < 7\,|x-3| em mãos (válida quando 0<|x-3|<1), basta fazer com que 7\,|x-3|<\varepsilon. Ou seja, queremos
|x-3|<\frac{\varepsilon}{7}.
Para garantir simultaneamente as duas condições (a estimativa válida e a desigualdade acima), escolhemos
\delta=\min\!\left(1,\;\frac{\varepsilon}{7}\right).
Então, para esse \delta, sempre que 0<|x-3|<\delta temos 0<|x-3|<1 (logo |x+3|<7) e |x-3|<\varepsilon/7. Assim
|f(x)-7| = |x^{2}-9| < 7\,|x-3| < 7\cdot\frac{\varepsilon}{7}=\varepsilon.

Passo 6

Concluímos a prova formal: dado qualquer \varepsilon>0, tomando \delta=\min\!\left(1,\frac{\varepsilon}{7}\right), sempre que 0<|x-3|<\delta temos |x^{2}-2-7|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição \varepsilon,\delta de limite, portanto
\lim_{x\to 3}\left(x^{2}-2\right)=7.
Dica prática para a prova na hora da prova: a ideia de fatorar \,x^{2}-9=(x-3)(x+3)\, e então controlar x+3 fixando \delta pequeno (por exemplo \delta\le 1) é padrão e funciona para polinômios — costuma ser a primeira coisa a tentar.

Resposta

\lim_{x\to 3}\left(x^{2}-2\right)=7

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