Usando a definição \varepsilon, \delta de limite, demonstre que \lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-2\right)=7
Passo 1
O enunciado pede demonstrar, usando a definição \varepsilon,\delta de limite, que
\lim_{x\to 3}\left(x^{2}-2\right)=7.
Informações dadas:
A função considerada é f(x)=x^{2}-2.
O ponto em que o limite é tomado é x\to 3.
O valor candidato do limite é 7.
O que precisamos provar formalmente: dado qualquer \varepsilon>0, encontrar um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, valha |f(x)-7|<\varepsilon.
Passo 2
Lembrete claro da definição \varepsilon,\delta (em linguagem simples):
\varepsilon>0 é a tolerância desejada no valor da função — quer dizer que queremos garantir que f(x) fique dentro do intervalo (7-\varepsilon,7+\varepsilon).
\delta>0 é a tolerância no argumento x — se x estiver dentro de \delta de 3 (exceto possivelmente em x=3 quando usamos 0<|x-3|<\delta), então garantimos que f(x) fica dentro de \varepsilon de 7.
Estratégia padrão que vamos usar (sem resolver ainda): manipular |f(x)-7| em termos de |x-3| e encontrar uma relação do tipo |f(x)-7|\le C\cdot|x-3| para algum C controlável; depois escolher \delta pequeno o suficiente para tornar C\cdot|x-3|<\varepsilon.
Portanto precisamos controlar \left|x-3\right|\left|x+3\right| por \varepsilon.
Passo 4
Para continuar, precisamos limitar \left|x+3\right| por uma constante quando x está perto de 3. Uma escolha comum e simples é restringir \delta para ser no máximo 1. Assim, suponha provisoriamente que
0<|x-3|<1.
A partir disso obtemos:
|x| \le |x-3| + |3| < 1 + 3 = 4,
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|x+3| \le |x| + 3 < 4 + 3 = 7.
Portanto, sempre que 0<|x-3|<1 valemos a estimativa útil
\left|x^{2}-9\right| = |x-3|\;|x+3| < 7\,|x-3|.
Passo 5
Com a desigualdade \left|x^{2}-9\right| < 7\,|x-3| em mãos (válida quando 0<|x-3|<1), basta fazer com que 7\,|x-3|<\varepsilon. Ou seja, queremos
|x-3|<\frac{\varepsilon}{7}.
Para garantir simultaneamente as duas condições (a estimativa válida e a desigualdade acima), escolhemos
Concluímos a prova formal: dado qualquer \varepsilon>0, tomando \delta=\min\!\left(1,\frac{\varepsilon}{7}\right), sempre que 0<|x-3|<\delta temos |x^{2}-2-7|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição \varepsilon,\delta de limite, portanto
\lim_{x\to 3}\left(x^{2}-2\right)=7.
Dica prática para a prova na hora da prova: a ideia de fatorar \,x^{2}-9=(x-3)(x+3)\, e então controlar x+3 fixando \delta pequeno (por exemplo \delta\le 1) é padrão e funciona para polinômios — costuma ser a primeira coisa a tentar.