Calcule os limites a seguir:
(a)
lim x 0 x^2+1sen(x)
(b)
lim x 0^+ raizx-1x^2
(c)
lim x 5 2 x^2+3(x-5)^2
(d)
lim x 2 5 x-4|x-2|
(e)
lim x 0 cos (3 x)x
(f)
lim x -3 3 x-11|x|-3
(g)
lim x 0 raizx+2-raiz3x^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários limites envolvendo funções racionais, radicais, valor absoluto e trigonométricas. Para resolvê-los vamos usar propriedades de limites (como observar se o numerador tende a constante não-zero enquanto o denominador tende a zero), aproximações tipo séries de Taylor (por exemplo sin xsim x e cos(3x)sim1), regra de l’Hôpital quando aparecer 0/0, e análise de casos para iniciar valores absolutos.

Passo 2

Para (a)
limxto0x^2+1sin(x)
Quando xto0, o numerador x^2+1to1 e o denominador sin(x)sim xto0. Assim
x^2+1sin(x)sim1x,
que tende a +infty se xto0^+ e a -infty se xto0^-. Logo o limite bilateral não existe (diverge).

Passo 3

Para (b)
limxto0^+raizx-1x^2
Aqui raizxto0 então raizx-1to-1 e x^2to0^+. Logo
raizx-1x^2sim-1x^2to-infty

Passo 4

Para (c)
limxto52x^2+3(x-5)^2
No ponto x=5 o numerador ,2cdot5^2+3=53neq0 e o denominador tende a 0 mas é quadrado (sempre positivo). Portanto
2x^2+3(x-5)^2to+infty

Passo 5

Para (d)
limxto25x-4|x-2|
Em x=2 o numerador vale 5cdot2-4=6>0. Perto de 2, |x-2|to0^+ de ambos os lados. Logo
5x-4|x-2|sim6pequeno positivoto+infty

Passo 6

Para (e)
limxto0cos(3x)x
Como cos(3x)to1 e xto0, temos algo como 1/x, que vai a +infty se xto0^+ e a -infty se xto0^-. Portanto o limite bilateral não existe (diverge).

Passo 7

Para (f)
limxto-33x-11|x|-3
No ponto x=-3, 3x-11to-20neq0 e |x|-3=|-3|-3=0.
  • Se xto-3^-, então |x|=-x e |x|-3>0, daí (3x-11)/(+)to-,infty.
  • Se xto-3^+, então |x|=x e |x|-3<0, daí (3x-11)/(-)to+infty.
    Como as duas “mãos” divergem com sinais diferentes, o limite bilateral não existe.

Passo 8

Para (g)
limxto0raizx+2-raiz3x^4
Quando xto0, raizx+2-raiz3toraiz2-raiz3<0 (constante não-zero) e x^4to0^+. Logo
raizx+2-raiz3x^4simconstante negativapequeno positivoto-infty

Resposta

(a) não existe (diverge, +infty à direita e -infty à esquerda))
(b) -infty
(c) +infty
(d) +infty
(e) não existe (diverge, +infty à direita e -infty à esquerda)
(f) não existe (uma mão -infty, outra +infty)
(g) -infty

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