Calcule os limites a seguir:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para calcular vários limites envolvendo funções racionais, radicais, valor absoluto e trigonométricas. Para resolvê-los vamos usar propriedades de limites (como observar se o numerador tende a constante não-zero enquanto o denominador tende a zero), aproximações tipo séries de Taylor (por exemplo
e
), regra de l’Hôpital quando aparecer
, e análise de casos para iniciar valores absolutos.
Passo 2
Para (a)
Quando
, o numerador
e o denominador
. Assim
que tende a
se
e a
se
. Logo o limite bilateral não existe (diverge).
Passo 3
Para (b)
Aqui
então
e
. Logo
Passo 4
Para (c)
No ponto
o numerador
e o denominador tende a
mas é quadrado (sempre positivo). Portanto
Passo 5
Para (d)
Em
o numerador vale
. Perto de
,
de ambos os lados. Logo
Passo 6
Para (e)
Como
e
, temos algo como
, que vai a
se
e a
se
. Portanto o limite bilateral não existe (diverge).
Passo 7
Para (f)
No ponto
,
e
.
- Se
, então e , daí . - Se
, então e , daí .
Como as duas “mãos” divergem com sinais diferentes, o limite bilateral não existe.
Passo 8
Para (g)
Quando
,
(constante não-zero) e
. Logo
Resposta
(a) não existe (diverge,
à direita e
à esquerda))
(b)
(c)
(d)
(e) não existe (diverge, à direita e
à esquerda)
(f) não existe (uma mão , outra
)
(g)
(b)
(c)
(d)
(e) não existe (diverge,
(f) não existe (uma mão
(g)