Nos Problemas 27-36, resolva o problema de valor inicial dado.
l 2 y^prime prime+3 y^prime-2 y=14 x^2-4 x-11 y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O problema é o valor inicial
2y''+3y'-2y=14x^2-4x-11, y(0)=0,;y'(0)=0
O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Vamos achar a solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica
2r^2+3r-2=0
cuja solução é
r=-3pm54=12,,-2
Logo
yh(x)=C1e^x/2+C2e^-2x

Passo 3

Como o lado direito é polinômio de grau 2, supomos
yp(x)=ax^2+bx+c
Então
yp'=2ax+b, yp''=2a
Substituindo em 2yp''+3yp'-2yp=14x^2-4x-11, obtemos
-2a,x^2+(6a-2b)x+(4a+3b-2c)=14x^2-4x-11
Igualando coeficientes:
-2a=14implies a=-7, 6a-2b=-4implies b=-19, 4a+3b-2c=-11implies c=-37
Portanto
yp(x)=-7x^2-19x-37

Passo 4

A solução geral é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1e^x/2+C2e^-2x-7x^2-19x-37

Passo 5

Aplicando as condições iniciais:
  1. y(0)=0
C1+C2-37=0implies C1+C2=37
  1. Calculamos
y'(x)=tfrac12C1e^x/2-2C2e^-2x-14x-19,
logo y'(0)=0
tfrac12C1-2C2-19=0implies C1-4C2=38
Resolvendo
C1+C2=37, C1-4C2=38,
obtém-se
C2=-tfrac15, C1=tfrac1865

Resposta

y(x)=1865,e^x/2-15,e^-2x-7x^2-19x-37

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