Resolva o seguinte PVI de primeira ordem usando a transf. de Laplace:
l y^prime(t)+8 y(t) equiv 6 e^-2 t y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver o PVI de primeira ordem y'(t)+8y(t)=6e^-2t com condição inicial y(0)=0 usando transformada de Laplace. Vamos usar a propriedade
Ly'(t)=sY(s)-y(0)
e saber que Le^-2t=1/(s+2). Também precisaremos decomposição em frações parciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Como y(0)=0, fica
(sY(s)-0)+8Y(s)=6cdot1s+2,
ou seja,
(s+8),Y(s)=6s+2

Passo 3

Isolando Y(s) obtemos
Y(s)=6(s+2)(s+8)
Para inverter, fazemos frações parciais: buscamos A,B tais que
6(s+2)(s+8)=As+2+Bs+8
Multiplicando por (s+2)(s+8) e usando s=-2 e s=-8, achamos A=1 e B=-1. Logo
Y(s)=1s+2-1s+8

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, lembrando que
L^-1l1s+ar=e^-a t
Assim,
y(t)=e^-2t-e^-8t

Resposta

y(t)=e^-2t-e^-8t

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