Calcule os limites a seguir.
lim h 0 (2+h)^-1-2^-1h

Passo 1

Estamos querendo achar o valor do limite limhto0(2+h)^-1-2^-1h, que é exatamente a diferença quociente de f(x)=x^-1 em x=2. Para resolver, vamos usar manipulação de frações e depois aplicar o limite.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o numerador:
(2+h)^-1-2^-1 = 12+h-12 = 2-(2+h)2(2+h) = -h2(2+h)
Logo, a expressão inteira fica:
(2+h)^-1-2^-1h = -h2(2+h)h = -h2(2+h),h = -12(2+h)

Passo 3

Agora é só tomar o limite quando hto0:
$$\lim_{h\to0}\frac{-1}{2(2+h)} = \frac{-1}{2\cdot2} = -\tfrac{1}{4}
$$

Resposta

-1/4

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