Resolva as equações homogêneas que encontrar na lista abaixo. Para isto, faça a mudança v=y / x e note que y^prime=v^prime x+v. (Se não for homogênea, não resolva).
e^y / x+y^prime-yx=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
e^y/x + y' - yx = 0
usando a mudança de variável v = y/x (conteúdo: EDO de 1ª ordem do tipo homogênea) e sabendo que y' = x,dv/dx + v.

Passo 2

Fazendo a substituição y = v x, temos
yx = v,
y' = xdvdx + v
Substituindo na equação original:

Passo 3

e^v + l(xdvdx + vr) - v = 0
que simplifica para
xdvdx + e^v = 0

Passo 4

Isolamos dv/dx e separamos as variáveis:
dvdx = -e^vx,
dve^v = -dxx

Passo 5

Integramos os dois lados:
integral e^-v,dv = -integral dxx
- e^-v = -ln|x| + C

Passo 6

Multiplicando por -1 e reagru- pando a constante, obtemos
e^-v = ln|x| + C1
Voltando à variável original v=y/x:

Passo 7

e^-y/x = ln|x| + C1

Resposta

e^-y/x = ln|x| + C

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