Nos moldes do exercício anterior, encontre uma expansão em série de potências para as funções abaixo. Indique o raio de convergência.
(f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\
(f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de f(x)=
em torno de x=0 (série de Maclaurin) e a determinação do raio de convergência. Vamos usar a ideia de série geométrica.
Passo 2
A teoria central é a expansão da série geométrica: para
temos
Passo 3
Para aplicar, note que
ou seja, basta tomar
na fórmula geométrica. Assim,
Passo 4
Para o raio de convergência, usamos a condição
:
Logo o raio de convergência é
.
Resposta
A expansão em série de potências de
em torno de zero é
e o raio de convergência é
.