Nos moldes do exercício anterior, encontre uma expansão em série de potências para as funções abaixo. Indique o raio de convergência.
(f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de f(x)= 1/(x^2+1) em torno de x=0 (série de Maclaurin) e a determinação do raio de convergência. Vamos usar a ideia de série geométrica.

Passo 2

A teoria central é a expansão da série geométrica: para |r|<1 temos
11-r=sumn=0^inftyr^n

Passo 3

Para aplicar, note que
1x^2+1=11-(-x^2)
ou seja, basta tomar r=-x^2 na fórmula geométrica. Assim,
11-(-x^2)=sumn=0^infty(-x^2)^n=sumn=0^infty(-1)^n x^2n

Passo 4

Para o raio de convergência, usamos a condição |r|<1:
|-x^2|<1implies x^2<1implies|x|<1
Logo o raio de convergência é R=1.

Resposta

A expansão em série de potências de f(x)=1/(x^2+1) em torno de zero é
sumn=0^infty(-1)^n x^2n
e o raio de convergência é R=1.

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