Calcule os limites a seguir:
lim h +infty(raiza+h-raizh)

Passo 1

Então, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente quando a variável tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões com radicais e entender como elas se comportam quando as variáveis aumentam bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão . Para facilitar, vamos racionalizar essa diferença. Racionalizar significa eliminar o radical de uma expressão, e fazemos isso multiplicando e dividindo pela conjugada.

Passo 3

A conjugada de (raiza+h - raizh) times raiza+h + raizhraiza+h + raizh é . Então, multiplicamos e dividimos nossa expressão por essa conjugada:

Passo 4

Ao multiplicar os numeradores, usamos a identidade (raiza+h)^2 - (raizh)^2 = (a + h) - h = a :
araiza+h + raizh
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando raiza+h + raizh = raizh( raiz1 + ah + 1 ) tende a +∞. Tanto quanto crescem indefinidamente, mas a diferença entre elas diminui.
A expressão no denominador pode ser simplificada fatorando :

Passo 6

Quando raizh(1 + 1) = 2raizh tende a +∞, o termo tende a 0. Portanto, tende a 1. Assim, o denominador fica aproximadamente:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
a2raizh
Agora, quando tende a +∞, também tende a +∞, e a fração tende a 0.

Resposta

Portanto, o limite é:
lim h +infty(raiza+h-raizh) = 0

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