Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Então, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente quando a variável tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões com radicais e entender como elas se comportam quando as variáveis aumentam bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão
. Para facilitar, vamos racionalizar essa diferença. Racionalizar significa eliminar o radical de uma expressão, e fazemos isso multiplicando e dividindo pela conjugada.
Passo 3
A conjugada de
é
. Então, multiplicamos e dividimos nossa expressão por essa conjugada:
Passo 4
Ao multiplicar os numeradores, usamos a identidade
:
Então, nossa expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
tende a +∞. Tanto
quanto
crescem indefinidamente, mas a diferença entre elas diminui.
A expressão no denominador pode ser simplificada fatorando
:
Passo 6
Quando
tende a +∞, o termo
tende a 0. Portanto,
tende a 1. Assim, o denominador fica aproximadamente:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, quando
tende a +∞,
também tende a +∞, e a fração
tende a 0.
Resposta
Portanto, o limite é: