Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções trigonométricas e potências de $ t $. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta próximo de zero e manipular a expressão para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Podemos juntar as frações:
Então, o limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o numerador
quando $ t $ se aproxima de zero. Sabemos que:
Isso significa que, para $ t $ bem pequeno, $ \sin(t) $ é aproximadamente igual a $ t $. Então:
Passo 4
Substituindo essa aproximação no limite, temos:
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando $ t $ se aproxima de zero.
Passo 5
Quando $ t $ se aproxima de zero, o numerador $ t - 1 $ se aproxima de $ -1 $, pois $ t $ é muito pequeno. O denominador $ t^{2} $ se aproxima de zero, mas como é ao quadrado, sempre será positivo, independentemente de $ t $ ser positivo ou negativo.
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos ver o que acontece com $ \frac{-1}{t^{2}} $ quando $ t $ se aproxima de zero:
- Se $ t $ se aproxima de zero pela direita ($ t \rightarrow 0^+ $), $ t^{2} $ é um número pequeno positivo, então $ \frac{-1}{t^{2}} $ vai para $ -\infty $.
- Se $ t $ se aproxima de zero pela esquerda ($ t \rightarrow 0^- $), $ t^{2} $ ainda é positivo (já que o quadrado de qualquer número é positivo), então novamente $ \frac{-1}{t^{2}} $ vai para $ -\infty $.