Calcule os limites a seguir:
lim t 0 pm(sen(t)t^2-1t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
lim t 0 pm(sin(t)t^2-1t^2)
Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções trigonométricas e potências de $ t $. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta próximo de zero e manipular a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Podemos juntar as frações:
sin(t)t^2 - 1t^2 = sin(t) - 1t^2
Então, o limite fica:
lim t 0 pm sin(t) - 1t^2

Passo 3

Agora, vamos analisar o numerador sin(t) - 1 quando $ t $ se aproxima de zero. Sabemos que:
t
Isso significa que, para $ t $ bem pequeno, $ \sin(t) $ é aproximadamente igual a $ t $. Então:
sin(t) approx t - t^36 + dots

Passo 4

Substituindo essa aproximação no limite, temos:
lim t 0 pm t - 1t^2
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando $ t $ se aproxima de zero.

Passo 5

Quando $ t $ se aproxima de zero, o numerador $ t - 1 $ se aproxima de $ -1 $, pois $ t $ é muito pequeno. O denominador $ t^{2} $ se aproxima de zero, mas como é ao quadrado, sempre será positivo, independentemente de $ t $ ser positivo ou negativo.
Então, temos:
t

Passo 6

Agora, vamos ver o que acontece com $ \frac{-1}{t^{2}} $ quando $ t $ se aproxima de zero:
  • Se $ t $ se aproxima de zero pela direita ($ t \rightarrow 0^+ $), $ t^{2} $ é um número pequeno positivo, então $ \frac{-1}{t^{2}} $ vai para $ -\infty $.
  • Se $ t $ se aproxima de zero pela esquerda ($ t \rightarrow 0^- $), $ t^{2} $ ainda é positivo (já que o quadrado de qualquer número é positivo), então novamente $ \frac{-1}{t^{2}} $ vai para $ -\infty $.

Resposta

lim t 0 pm(sin(t)t^2-1t^2) = -infty

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