Calcule os limites a seguir:
lim x 0+(sen(x)x^2-1raizx)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita da expressão . Aqui, estamos lidando com limites, um tópico fundamental em cálculo, e vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e comportamentos assintóticos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Vamos olhar para e para quando se aproxima de 0.

Passo 3

Sabemos que pode ser aproximado por sen(x)x^2 approx xx^2 = 1x quando é próximo de 0, ou seja, para . Portanto, podemos substituir por na expressão :

Passo 4

Agora, vejamos a segunda parte da expressão, 1raizx to +infty quando x to 0^+ . Quando se aproxima de 0 pela direita, também se aproxima de 0, então tende ao infinito positivo:

Passo 5

Voltando à primeira parte, vimos que . Quando 1x to +infty quando x to 0^+ se aproxima de 0 pela direita, também tende ao infinito positivo:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes da expressão original:
Como vimos, sen(x)x^2 - 1raizx approx 1x - 1raizx tende a e também tende a , mas cresce mais rápido do que .

Passo 7

Isso significa que a diferença entre os dois termos, , será dominada pelo termo , que vai para . Portanto, toda a expressão tende a quando se aproxima de 0 pela direita.

Resposta

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