Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. Isso envolve limites no infinito de uma função racional onde aparecem termos polinomiais de grau 2 e termos oscilantes (
e
). Vamos usar o fato de que, quando
, os termos de maior grau dominam e as frações como
e
tendem a zero, pressupondo
para o limite ser finito.
Passo 2
Escrevendo a função de forma mais clara e agrupando o numerador:
[\displaystyle
\frac{x(ax+\sin x)}{b x^2 -5\cos x +1}
= \frac{a x^2 + x\sin x}{b x^2 -5\cos x +1}
]
Dividindo numerador e denominador por para evidenciar os termos que tendem a zero:
[\displaystyle
\frac{a x^2 + x\sin x}{b x^2 -5\cos x +1}
= \frac{x^2\bigl(a + \frac{\sin x}{x}\bigr)}{x^2\bigl(b - \frac{5\cos x}{x^2} + \frac{1}{x^2}\bigr)}
= \frac{a + \frac{\sin x}{x}}{b - \frac{5\cos x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}.
]
Ao fazermos , temos
,
e
, de modo que o quociente tende a
.
[\displaystyle
\frac{x(ax+\sin x)}{b x^2 -5\cos x +1}
= \frac{a x^2 + x\sin x}{b x^2 -5\cos x +1}
]
Dividindo numerador e denominador por
[\displaystyle
\frac{a x^2 + x\sin x}{b x^2 -5\cos x +1}
= \frac{x^2\bigl(a + \frac{\sin x}{x}\bigr)}{x^2\bigl(b - \frac{5\cos x}{x^2} + \frac{1}{x^2}\bigr)}
= \frac{a + \frac{\sin x}{x}}{b - \frac{5\cos x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}.
]
Ao fazermos
Passo 3
Como o procedimento não depende do sinal de
no infinito (os termos dominantes são de grau par e as frações oscilantes anulam-se), concluímos que tanto para
quanto para
o limite é o mesmo.