Calcule os limites a seguir:
lim x pm infty x(a x+sen(x))b x^2-5 cos (x)+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtopminftydfracx(ax+sin x)b x^2-5cos x+1. Isso envolve limites no infinito de uma função racional onde aparecem termos polinomiais de grau 2 e termos oscilantes ( sin x e cos x). Vamos usar o fato de que, quando xtopminfty, os termos de maior grau dominam e as frações como tfracsin xx e tfraccos xx^2 tendem a zero, pressupondo bneq0 para o limite ser finito.

Passo 2

Escrevendo a função de forma mais clara e agrupando o numerador:
[\displaystyle
\frac{x(ax+\sin x)}{b x^2 -5\cos x +1}
= \frac{a x^2 + x\sin x}{b x^2 -5\cos x +1}
]
Dividindo numerador e denominador por x^2 para evidenciar os termos que tendem a zero:
[\displaystyle
\frac{a x^2 + x\sin x}{b x^2 -5\cos x +1}
= \frac{x^2\bigl(a + \frac{\sin x}{x}\bigr)}{x^2\bigl(b - \frac{5\cos x}{x^2} + \frac{1}{x^2}\bigr)}
= \frac{a + \frac{\sin x}{x}}{b - \frac{5\cos x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}.
]
Ao fazermos xtopminfty, temos tfracsin xxto0, tfraccos xx^2to0 e tfrac1x^2to0, de modo que o quociente tende a tfracab.

Passo 3

Como o procedimento não depende do sinal de x no infinito (os termos dominantes são de grau par e as frações oscilantes anulam-se), concluímos que tanto para xto+infty quanto para xto-infty o limite é o mesmo.

Resposta

ab

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