Calcule os limites a seguir:
(a)
lim x +infty 2 x^2-4 x-2518 x^3-9 x^2
(b)
lim x +infty 2+x-pi x^212 x-4 x^2
(c)
lim x +infty(1pi)^x^3(x^2-1)^-1
(d)
lim x -infty(raizx^2-3 x+x)
(e)
lim x +infty[x(raizx^2-1-x)]
(f)
lim x +infty[x ln 2-ln (3^x+1)]

Passo 1

O enunciado pede que calculemos seis limites envolvendo quatro temas principais:
  1. Funções racionais conforme xtopminfty, usando dominância de termos de maior grau.
  2. Potência de base fixa e expoente que cresce, aplicando o fato de que se a base está entre 0 e 1, a potência tende a zero quando o expoente vai a +infty.
  3. Expressões com raiz quadrada em xtopminfty, manipuladas via fatoração ou conjugado.
  4. Diferença envolvendo logaritmos e termos lineares em xto+infty, usando propriedades de log.

Passo 2

Para (a) e (b) usamos o grau maior de x em numerador e denominador:
(a)
2x^2-4x-2518x^3-9x^2 =x^2l(2-tfrac4x-tfrac25x^2r)x^2l(18x-9r) =2-tfrac4x-tfrac25x^218x-9
Quando xto+infty, o numerador tende a 2 e o denominador cresce como 18x, logo o quociente tende a 0.
(b)
2 + x - pi x^212x - 4x^2 =x^2l(tfrac2x^2+tfrac1x-pir)x^2l(tfrac12x-4r) =-pi + o(1)-4 + o(1) ;longrightarrow;-pi-4=pi4

Passo 3

Para (c) note que a base tfrac1pi satisfaz 0<tfrac1pi<1 e o expoente
x^3x^2-1 =xcdotx^2x^2-1 ;longrightarrow;+infty quando xto+infty
Potência de base em (0,1) com expoente que vai a +infty tende a 0.

Passo 4

Em (d) usamos a identificação raizx^2-3x=|x|raiz1-tfrac3x. Para xto-infty, |x|=-x, então
raizx^2-3x+x =-x,raiz1-tfrac3x+x =xl(-raiz1-tfrac3x+1r)
Expandindo raiz1-tfrac3xapprox1-tfrac32x para x grande, vem
xl(-l(1-tfrac32xr)+1r) =xcdot32x =32

Passo 5

Para (e) multiplicamos por conjugado:
xl(raizx^2-1-xr) =xcdot(raizx^2-1-x)(raizx^2-1+x)raizx^2-1+x =xcdotx^2-1 - x^2raizx^2-1+x =-xraizx^2-1+x
Dividindo numerador e denominador por x>0 e fazendo xto+infty, obtemos
-1raiz1-tfrac1x^2+1 ;longrightarrow; -11+1 =-tfrac12

Passo 6

Em (f) usamos propriedades de logaritmo:
xln2-lnl(3^x+1r) =xln2-l(ln 3^x+ln(1+3^-x)r) =xln2 - xln3 - ln(1+3^-x) =x(ln2-ln3)-ln(1+3^-x)
Como ln2-ln3=ln!tfrac23<0 e ln(1+3^-x)to0, o termo principal é
xln!tfrac23to-infty.

Resposta

(a) 0
(b) tfracpi4
(c) 0
(d) tfrac32
(e) -tfrac12
(f) -infty

Exercícios relacionados