Use o método da convolução para encontrar f(t) cuja transformada de Laplace F(s) é o produto das funções Y(s)=ss^2+1 e Z(s)=1s^2.

Passo 1

O enunciado pede a função f(t) cujo transformada de Laplace é
F(s)=Y(s),Z(s)
com
Y(s)=ss^2+1 e Z(s)=1s^2
O conteúdo aqui é convolução no domínio do tempo: se
y(t)=L^-1Y(s) e z(t)=L^-1Z(s),
então
f(t)=y*z(t)=integral0^ty(tau),z(t-tau),dtau

Passo 2

Vamos achar as transformadas inversas:
y(t)=L^-1glss^2+1gr=cos(t),
z(t)=L^-1gl1s^2gr=t

Passo 3

Aplicando a definição de convolução,
f(t) =integral0^ty(tau),z(t-tau),dtau =integral0^tcos(tau),(t-tau),dtau
Para facilitar, separamos em dois termos:
integral0^tcos(tau),(t-tau),dtau =tintegral0^tcos(tau),dtau -integral0^ttaucos(tau),dtau

Passo 4

Calculemos cada integral:
e usando integração por partes em
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Substituindo de volta,

Resposta

f(t)=1-cos(t)

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