Calcule os limites a seguir:
(a)
lim x +infty(2 x^5+4 x^2-3)
(b)
lim x -infty(4 x^3-2 x^2+x-5)
(c)
lim x -infty(-5 e^x)
(d)
lim x -infty raiz5 x^2+x+2
(e)
lim x +infty(raizx^2-3 x+x)
(f)
lim x 0^+(x^2+ln (x))
(g)
lim x +infty 11+2^1x
(h)
lim x 2^- ln (2-x)
(i)
lim x 1^- pi2+3^1x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular diversos limites de funções quando x tende a +infty, a -infty ou a pontos finitos. O conteúdo envolve comportamento assintótico de polinômios, exponenciais, radicais, logaritmos e formas indeterminadas simples.

Passo 2

Para (a) e (b) temos polinômios, cujo comportamento no infinito é ditado pelo termo de maior grau.
– (a) limxto+infty(2x^5+4x^2-3) é dominado por 2x^5. Como x^5to+infty e o coeficiente 2>0, o limite é +infty.
– (b) limxto-infty(4x^3-2x^2+x-5) é dominado por 4x^3. Como x^3to-infty e 4>0, o limite é -infty.

Passo 3

Para (c) usamos o fato de que quando . Assim

Passo 4

Em (d) temos
limxto-inftyraiz5x^2+x+2
Para |x| grande, 5x^2+x+2sim5x^2 e raiz5x^2=raiz5,|x|. Como xto-infty implica |x|=-xto+infty, a raiz também tende a +infty.

Passo 5

No item (e) aparece
raizx^2-3x+x
Para xto+infty, escrevemos raizx^2-3x=xraiz1-tfrac3x=xl(1-tfrac32x+o(tfrac1x)r)=x-tfrac32+o(1). Logo
raizx^2-3x+xsim(x-tfrac32)+x=2x-tfrac32to+infty

Passo 6

Em (f) temos a soma de x^2 e ln(x) quando xto0^+. Como x^2to0 mas ln(x)to-infty domina,
limxto0^+(x^2+ln(x))=-infty

Passo 7

No item (g) avaliamos
limxto+infty11+2^1/x
Quando xto+infty, tfrac1xto0 e 2^1/xto2^0=1. Assim o quociente vai a 1/(1+1)=1/2.

Passo 8

Em (h) consideramos
limxto2^-ln(2-x)
Para xto2^-, 2-xto0^+ e ln(2-x)to-infty.

Passo 9

No item (i) temos
limxto1^-pi2+3^1/(x-1)
Quando xto1^-, x-1to0^- e tfrac1x-1to-infty, logo 3^1/(x-1)to0. Então o denominador tende a 2 e o quociente a pi/2.

Resposta

(a) +infty
(b) -infty
(c) 0
(d) +infty
(e) +infty
(f) -infty
(g) tfrac12
(h) -infty
(i) tfracpi2

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