Dada a equação y^3-x y=3, em que y=f(x), encontre:
a) (d yd x) por derivação implícita.
b) a equação da reta tangente à curva y^3-x y=3 no ponto (8,3).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
y^3-x,y=3
e pede (a) a derivada tfracdydx usando diferenciação implícita, e (b) a reta tangente no ponto (8,3). Para isso usaremos a regra da cadeia em y^3 e a regra do produto em x,y.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
ddxl(y^3-x,yr)=ddx(3)
Aplicando as regras:
3y^2,dydx;-;l(y + x,tfracdydxr);=;0

Passo 3

Agrupando os termos com tfracdydx:
3y^2,dydx ;-;x,dydx ;=;y Longrightarrow (3y^2-x),dydx=y Longrightarrow dydx=y3y^2-x

Passo 4

No ponto (8,3) o coeficiente angular m é
m=dydx|(8,3) =33cdot3^2-8 =327-8 =319

Passo 5

A reta tangente em (x0,y0)=(8,3) usa a forma ponto-inclinação:
y - y0=m,(x-x0) Longrightarrow y-3=319(x-8)

Resposta

a) dydx=y3y^2-x
b) y-3=319(x-8)

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