Sabendo que f(x)=raizx^2-3 x-9, determine o valor de f^prime prime(6).

Passo 1

O enunciado dá f(x)=raizx^2-3x-9 e pede f''(6). Vamos usar derivação de função composta (regra da cadeia) para achar f'(x) e depois derivar de novo (regra do quociente) para obter f''(x).

Passo 2

Escrevendo f(x)=(x^2-3x-9)^1/2, pela regra da cadeia
f'(x)=12(x^2-3x-9)^-1/2cdot(2x-3) =2x-32raizx^2-3x-9

Passo 3

Para f''(x) aplicamos a regra do quociente em f'(x)=uv com u=2x-3 e v=2raizx^2-3x-9. Calcula-se
u'=2, v'=2cdot12(x^2-3x-9)^-1/2cdot(2x-3) =2x-3raizx^2-3x-9,
f''(x) =u'v-u,v'v^2 =4raizx^2-3x-9-(2x-3)^2raizx^2-3x-94(x^2-3x-9) =4(x^2-3x-9)-(2x-3)^24(x^2-3x-9)^3/2
Note que o numerador fica
4(x^2-3x-9)-(2x-3)^2=-45,
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f''(x)=-454,(x^2-3x-9)^3/2

Passo 4

Em x=6 temos 6^2-3cdot6-9=36-18-9=9 e 9^3/2=27. Logo
f''(6)=-454cdot27=-45108=-512

Resposta

-tfrac512

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