Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Estamos lidando com limites no infinito, um tópico de Cálculo que ajuda a entender o comportamento das funções quando $ x $ fica muito grande, tanto positivamente quanto negativamente. Para resolver isso, vamos precisar analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador, já que eles dominam o comportamento da função quando $ x $ vai para infinito ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. No numerador, temos:
E no denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é $ 3x^2 $ e no denominador é $ 2x^2 $. Quando $ x $ vai para infinito ou menos infinito, esses termos são os que mais influenciam o valor do limite.
Passo 4
Podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos pelo termo de maior grau, que é $ x^2 $:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme $ x $ vai para infinito ou menos infinito:
- $ \frac{\sin(x)}{x} $ tende a 0, porque $ \sin(x) $ fica entre -1 e 1, e dividido por um $ x $ enorme, isso vai a 0.
- $ \frac{1}{x^2} $ também tende a 0.
Então, a expressão simplifica para:
Resposta
O limite é igual a $ \frac{3}{2} $.