Calcule os limites a seguir:
lim x pm infty x(3 x+sen(x))2 x^2-5 x sen(x)+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim x pm infty x(3x+sin(x))2x^2-5x sin(x)+1
Estamos lidando com limites no infinito, um tópico de Cálculo que ajuda a entender o comportamento das funções quando $ x $ fica muito grande, tanto positivamente quanto negativamente. Para resolver isso, vamos precisar analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador, já que eles dominam o comportamento da função quando $ x $ vai para infinito ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. No numerador, temos:
x(3x + sin(x)) = 3x^2 + x sin(x)
E no denominador:
2x^2 - 5x sin(x) + 1
Então, a expressão fica:
3x^2 + x sin(x)2x^2 - 5x sin(x) + 1

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é $ 3x^2 $ e no denominador é $ 2x^2 $. Quando $ x $ vai para infinito ou menos infinito, esses termos são os que mais influenciam o valor do limite.

Passo 4

Podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos pelo termo de maior grau, que é $ x^2 $:
x^2

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme $ x $ vai para infinito ou menos infinito:
  • $ \frac{\sin(x)}{x} $ tende a 0, porque $ \sin(x) $ fica entre -1 e 1, e dividido por um $ x $ enorme, isso vai a 0.
  • $ \frac{1}{x^2} $ também tende a 0.
Então, a expressão simplifica para:
x

Resposta

O limite é igual a $ \frac{3}{2} $.

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