Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente e o seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos limites dessas funções quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos na expressão. A tangente e o seno de um ângulo pequeno (próximo de 0) podem ser aproximados por suas próprias medidas angulares em radianos. Ou seja:
Essas propriedades são fundamentais quando trabalhamos com limites envolvendo funções trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas propriedades à nossa expressão original. Observe que temos
e . Podemos reescrever o limite dividindo e multiplicando por 5x e 3x para facilitar a aplicação das propriedades acima:
Aqui, dividimos por
e
dentro das funções trigonométricas para usar as propriedades dos limites.
Passo 4
Simplificando a expressão, temos:
Agora, podemos aplicar o limite às duas partes separadamente.
Passo 5
Sabemos que:
Então, elevando ao quadrado:
Passo 6
Agora, multiplicamos pelo restante da expressão:
Resposta
O limite é igual a
.