Calcule os limites a seguir:
lim x 0 tan ^2(5 x)x sen(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente e o seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos limites dessas funções quando lim x 0 tan ^2(5 x)x cdot sen(3 x) se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos na expressão. A tangente e o seno de um ângulo pequeno (próximo de 0) podem ser aproximados por suas próprias medidas angulares em radianos. Ou seja:
Essas propriedades são fundamentais quando trabalhamos com limites envolvendo funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades à nossa expressão original. Observe que temos lim x 0 tan ^2(5 x)x cdot sen(3 x) = lim x 0 ( tan(5x)5x )^2 cdot (5x)^2x cdot (3x) e . Podemos reescrever o limite dividindo e multiplicando por 5x e 3x para facilitar a aplicação das propriedades acima:
Aqui, dividimos por e dentro das funções trigonométricas para usar as propriedades dos limites.

Passo 4

Simplificando a expressão, temos:
( tan(5x)5x )^2 cdot 25x^23x^2 = ( tan(5x)5x )^2 cdot 253
Agora, podemos aplicar o limite às duas partes separadamente.

Passo 5

Sabemos que:
limx to 0 tan(5x)5x = 1
Então, elevando ao quadrado:
( limx to 0 tan(5x)5x )^2 = 1^2 = 1

Passo 6

Agora, multiplicamos pelo restante da expressão:
1 cdot 253 = 253

Resposta

O limite é igual a .

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