Calcule os limites a seguir:
lim x pm infty raiz|x|(x-1)x^2 raiz|x|-x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando lim x pm infty raiz|x|(x-1)x^2 raiz|x|-x+1 tende a da função:
Aqui estamos lidando com limites no infinito, que é um conceito de cálculo onde analisamos o comportamento da função quando cresce muito, tanto positiva quanto negativamente. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências de se comportam quando vai para infinito e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dividindo os termos do numerador e do denominador pelo maior termo de raiz|x|(x-1)x^2 raiz|x|-x+1 = raiz|x|(x-1)x^5/2 x^2 raiz|x|x^5/2 - xx^5/2 + 1x^5/2 que aparece na função. Observamos que no denominador o maior termo é , que é igual a porque e .
Então, dividimos cada termo por :

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada parte:
No numerador:
raiz|x|(x-1)x^5/2 = |x|^1/2(x - 1)x^5/2 = x - 1x^5/2 - 1/2 = x - 1x^2
No denominador:
x^2 raiz|x|x^5/2 = x^2 |x|^1/2x^5/2 = x^2x^5/2 - 1/2 = x^2x^2 = 1
xx^5/2 = xx^5/2 = 1x^3/2
1x^5/2 = x^-5/2
Então, a expressão fica:
x - 1x^2 1 - 1x^3/2 + 1x^5/2

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando 01 = 0 tende a :
  • . Quando vai para infinito, ambos os termos vão para 0.
  • No denominador, permanece, e também vão para 0.
Então, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é igual a lim x pm infty raiz|x|(x-1)x^2 raiz|x|-x+1 = 0 .

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