Calcule os limites a seguir:
lim x 0 f(x) onde, f(x)=1sin 1x;

Passo 1

O problema pede o limite
limxto 0f(x)onde f(x)=1sinl(tfrac1xr)
Para estudar esse limite, vamos lembrar que, para existir, toda sequência xnto0 deve fazer f(xn) convergir para o mesmo valor finito (ou ±∞).

Passo 2

Observe que, ao fazermos xto0, o argumento 1/x percorre todos os valores reais com módulo crescente, e a função sin oscila entre -1 e 1. Em particular, existem sequências de x próximas de zero que fazem sin(1/x) assumir valores arbitrariamente próximos de -1, de 0 e de 1.

Passo 3

Para ver que não há valor único de limite, escolha duas sequências:
  1. xn=1pi2+2pi n. Então 1/xn=pi2+2pi n e
sinl(1/xnr)=1 Longrightarrow f(xn)=1
  1. yn=13pi2+2pi n. Então 1/yn=3pi2+2pi n e
sinl(1/ynr)=-1 Longrightarrow f(yn)=-1
Vemos que uma sequência leva f a 1 e outra a -1, valores distintos.

Passo 4

Além disso, há sequências que aproximam sin(1/x) de zero, por exemplo resolvendo 1/xn=npi, em que
sinl(1/xnr)=0
exatamente ou muito próximo de zero, fazendo f(xn) explodir em módulo (tende a ±∞).

Resposta

O limite
limxto 01sin(tfrac1x)
não existe.

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