Utilizando o teste da razão ou o teste da raiz, estudar as sequências:
sumn=1^infty 3^n-75^n sumn=1^infty an, sendo an=ca^(n+1) / 2 cdot b^(n-1) / 2, se n é ímpar a^n / 2 cdot b^n / 2, se n é par éíé

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência das duas séries
sumn=1^infty3^n-75^n
e
sumn=1^inftyan, an= a^tfracn+12,b^tfracn-12,&se (n) é ímpar, a^tfrac n2,b^tfrac n2,&se (n) é par, éíé
usando o teste da razão ou o teste da raiz para determinar convergência absoluta.

Passo 2

Para a primeira série definimos
an = 3^n-75^n
Vamos aplicar o teste da razão, isto é, analisar
L=limntoinfty|an+1an|
Calculamos
an+1an =3^n+1-75^n+13^n-75^n =3^n+1-73^n-7;5^n5^n+1 =3^n+1-73^n-7,15
Como 3^n+1-7=3cdot3^n-7 e 3^ntoinfty, temos
limntoinfty3^n+1-73^n-7 =limntoinfty3cdot3^n-73^n-7 =3,
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L=limntoinfty|an+1an| =35<1
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente.

Passo 3

Para a segunda série usamos o teste da raiz. Definimos
bn=|an|^1/n
Se n é par, an = a^n/2b^n/2 e
bn = l|a^n/2b^n/2r|^1/n =l(|a|,|b|r)^1/2
Se n é ímpar, an=a^tfracn+12b^tfracn-12 e
bn =l|ar|^tfracn+12n; l|br|^tfracn-12n ;xrightarrow[ntoinfty]; l(|a|,|b|r)^1/2
Portanto
limntoinftybn =raiz|a,b|
Pelo teste da raiz, a série sum an converge absolutamente se
raiz|a,b|<1(ie |a,b|<1),
e diverge se
raiz|a,b|>1(ie |a,b|>1)
Se raiz|a,b|=1, o teste é inconclusivo.

Resposta

A primeira série converge absolutamente (pois lim|an+1/an|=3/5<1).
A segunda série converge absolutamente se |a,b|<1, diverge se |a,b|>1, e o teste é inconclusivo para |a,b|=1.

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