Encontre o limite.
lim x 0^+ ln (sen x)ln (tg x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+ln(sin x)ln(tan x)
O conteúdo envolvido é limite de função em forma indeterminada do tipo tfrac-infty-infty, então vamos recorrer ao Teorema de l’Hôpital.

Passo 2

Verificamos que, quando xto0^+,
sin xto0^+ e tan xto0^+,
logo ln(sin x)to-infty e ln(tan x)to-infty.
Como é indeterminação tfrac-infty-infty, podemos aplicar l’Hôpital e substituir o limite pelo quociente das derivadas.

Passo 3

Defina
f(x)=ln(sin x), g(x)=ln(tan x)
Então
f'(x)=cos xsin x=cot x, g'(x)=sec^2 xtan x =1sin xcos x
Pelo Teorema de l’Hôpital,
limxto0^+ln(sin x)ln(tan x) =limxto0^+f'(x)g'(x) =limxto0^+l(cot xcdotsin xcos xr) =limxto0^+cos^2 x
Como cos 0=1, obtemos o valor final.

Resposta

1

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