Calcule os limites a seguir:
lim x 0 f(x), onde f(x)=lx^2 sin 1x, x neq 0 0, x=0;

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2sinl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0,
e pede o limite limxto0f(x). Como sin(1/x) oscila muito perto de zero, vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) para encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Sabemos que para todo t real vale
-1<=sin(t)<=1
Tomando t=1/x (para xneq0) e multiplicando tudo por x^2, obtemos
-x^2<= x^2sinl(tfrac1xr)<= x^2

Passo 3

Quando xto0, ambos os limites
limxto0(-x^2)=0 e limxto0x^2=0
são iguais a 0. Pelo Teorema do Confronto, segue que
limxto0x^2sinl(tfrac1xr)=0

Passo 4

Como o valor definido em x=0 é f(0)=0, concluímos que a função tende a 0 quando x se aproxima de zero.

Resposta

limxto0f(x)=0

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