Calcule os limites a seguir:
(a) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}+3 x^{2}+5}{x+6}
(b) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3 x+2}{x^{3}+6}
(c) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{3}+3 x+2}{3 x^{3}+2 x+1}
(d) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x+6}
(e) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x+5}{\sqrt{2 x^{2}-5}}
(f) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)
(g) \lim _{x \rightarrow-\infty} e^{-x^{2}}
(h) \lim _{x \rightarrow+\infty}(\ln (\ln x)-\ln (\ln 2))

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais expressões são dadas. São oito limites a calcular:
(a) \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}+3x^{2}+5}{x+6}
(b) \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}+6}
(c) \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{3}+3x+2}{3x^{3}+2x+1}
(d) \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x+6}
(e) \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2x+5}{\sqrt{2x^{2}-5}}
(f) \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr)
(g) \displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{-x^{2}}
(h) \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\bigl(\ln(\ln x)-\ln(\ln 2)\bigr)
Essas são as perguntas. A partir daqui vou resolver cada item passo a passo, explicando os métodos usados (dividir por potências, comportamento de radicais, racionalização, crescimento/exponenciais/logaritmos, etc.), e mostrando por que cada técnica funciona.

Passo 2

(a) Resolver \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}+3x^{2}+5}{x+6}.
Mini-aula: para quocientes de polinômios, o comportamento para x\to\pm\infty é dominado pelos termos de maior grau. Uma técnica segura é fazer a divisão de polinômios (ou dividir numerador e denominador pela maior potência de x). Vou fazer a divisão euclidiana do polinômio para ter a forma “polinômio + resto/(x+6)”.
Dividindo x^{3}+3x^{2}+0x+5 por x+6 (divisão sintética com raiz -6):
  • Coeficientes: 1,\;3,\;0,\;5.
  • Usando -6: trazemos 1; 1\cdot(-6)=-6; 3+(-6)=-3; -3\cdot(-6)=18; 0+18=18; 18\cdot(-6)=-108; 5+(-108)=-103.
Logo o quociente é x^{2}-3x+18 e o resto é -103. Assim
\frac{x^{3}+3x^{2}+5}{x+6}=x^{2}-3x+18-\frac{103}{x+6}.
Agora, ao deixar x\to -\infty: o termo dominante é x^{2} que tende a +\infty. O termo -\dfrac{103}{x+6}\to 0. Portanto o limite é +\infty.

Passo 3

(b) Resolver \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}+6}.
Mini-aula: quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a fração tende a 0. Uma forma formal é dividir numerador e denominador pela maior potência de x, aqui x^{3}.
Dividindo:
\frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}+6}=\frac{\dfrac{x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{3x}{x^{3}}+\dfrac{2}{x^{3}}}{1+\dfrac{6}{x^{3}}} =\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}}{1+\dfrac{6}{x^{3}}}.
Ao fazer x\to +\infty, todos os termos \dfrac{1}{x},\dfrac{3}{x^{2}},\dfrac{2}{x^{3}},\dfrac{6}{x^{3}} vão para 0. Assim o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1, logo o quociente tende a 0.
Portanto o limite é 0.

Passo 4

(c) Resolver \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{3}+3x+2}{3x^{3}+2x+1}.
Mini-aula: quando numerador e denominador têm o mesmo grau (aqui ambos grau 3), o limite, quando existe, é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Formalmente divide-se tudo por x^{3}.
Fazendo:
\frac{2x^{3}+3x+2}{3x^{3}+2x+1} =\frac{2+\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}}{3+\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}.
Ao fazer x\to -\infty, os termos com potências negativas de x vão a 0. Assim a expressão tende a \dfrac{2}{3}.
Observação sobre sinal: como ambos os polinômios são dominados pelos termos cúbicos, cujo sinais são dados pelos coeficientes 2 e 3, o limite é positivo 2/3 independentemente do sinal de x\to -\infty.

Passo 5

(d) Resolver \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x+6}.
Mini-aula: cuidado com radicais: \sqrt{x^{2}}=|x|. Para x\to -\infty, tem-se |x|=-x (pois x é negativo). Uma técnica é fatorar |x| do radical:
\sqrt{x^{2}+9}=|x|\sqrt{1+\dfrac{9}{x^{2}}}.
Para x\to -\infty temos |x|=-x e \sqrt{1+\dfrac{9}{x^{2}}}\to 1. Então
\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x+6} =\frac{-x\sqrt{1+\dfrac{9}{x^{2}}}}{x\left(1+\dfrac{6}{x}\right)} =\frac{-\sqrt{1+\dfrac{9}{x^{2}}}}{1+\dfrac{6}{x}}.
Ao fazer x\to -\infty, \sqrt{1+\dfrac{9}{x^{2}}}\to 1 e \dfrac{6}{x}\to 0. Logo o quociente tende a -1.
Portanto o limite é -1.

Passo 6

(e) Resolver \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2x+5}{\sqrt{2x^{2}-5}}.
Mini-aula: novamente usar \sqrt{x^{2}}=|x|. Escrevemos \sqrt{2x^{2}-5}=|x|\sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}. Para x\to -\infty temos |x|=-x. Dividindo numerador e denominador por |x| (ou por -x):
\frac{2x+5}{\sqrt{2x^{2}-5}} =\frac{x\left(2+\dfrac{5}{x}\right)}{|x|\sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}} =\frac{2+\dfrac{5}{x}}{\operatorname{sgn}(x)\sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}}.
Como x\to -\infty, \operatorname{sgn}(x)=-1, \dfrac{5}{x}\to 0, e \sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}\to\sqrt{2}. Assim o limite é
\frac{2}{-\,\sqrt{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.
Então o limite vale -\sqrt{2}.

Passo 7

(f) Resolver \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
Mini-aula: a expressão é uma diferença entre termos que crescem como x, então o comportamento é do tipo “infinito menos infinito” — forma indeterminada. Uma técnica clássica é multiplicar por 1 escrita como a conjugada sobre si mesma (racionalização):
Multiplico por \dfrac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}:
x-\sqrt{x^{2}+1}=\frac{\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)}{x+\sqrt{x^{2}+1}} =\frac{x^{2}-(x^{2}+1)}{x+\sqrt{x^{2}+1}} =\frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.
Agora ao fazer x\to +\infty, o denominador x+\sqrt{x^{2}+1}\to +\infty, então a fração tende a 0. Observação do sinal: o numerador é -1, denominador positivo grande, então a expressão tende a 0 por valores negativos; de qualquer forma o limite é 0.

Passo 8

(g) Resolver \displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{-x^{2}}.
Mini-aula rápida: a função exponencial e^{t} tende a 0 quando t\to -\infty, e tende a +\infty quando t\to +\infty. Aqui o expoente é -x^{2}. Quando x\to -\infty, tem-se x^{2}\to +\infty, então -x^{2}\to -\infty. Logo
e^{-x^{2}}\longrightarrow e^{-\infty}=0.
Portanto o limite é 0.

Passo 9

(h) Resolver \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\bigl(\ln(\ln x)-\ln(\ln 2)\bigr).
Mini-aula: para x\to +\infty, \ln x\to +\infty. Em seguida \ln(\ln x) também tende a +\infty (mesmo que mais lentamente). A constante \ln(\ln 2) é apenas um número fixo. Logo a diferença tende a +\infty. Mais formalmente:
Como \lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty e \lim_{t\to +\infty}\ln t=+\infty, pela composição obtemos \lim_{x\to +\infty}\ln(\ln x)=+\infty. Subtraindo a constante \ln(\ln 2) não muda o comportamento infinito: o limite é +\infty.

Resposta

(a) +\infty
(b) 0
(c) \dfrac{2}{3}
(d) -1
(e) -\sqrt{2}
(f) 0
(g) 0
(h) +\infty

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