Calcule os limites a seguir:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais expressões são dadas. São oito limites a calcular:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Essas são as perguntas. A partir daqui vou resolver cada item passo a passo, explicando os métodos usados (dividir por potências, comportamento de radicais, racionalização, crescimento/exponenciais/logaritmos, etc.), e mostrando por que cada técnica funciona.
Passo 2
(a) Resolver
.
Mini-aula: para quocientes de polinômios, o comportamento para
é dominado pelos termos de maior grau. Uma técnica segura é fazer a divisão de polinômios (ou dividir numerador e denominador pela maior potência de
). Vou fazer a divisão euclidiana do polinômio para ter a forma “polinômio + resto/(x+6)”.
Dividindo
por
(divisão sintética com raiz
):
- Coeficientes:
. - Usando
: trazemos ; ; ; ; ; ; .
Logo o quociente é
e o resto é
. Assim
Agora, ao deixar
: o termo dominante é
que tende a
. O termo
. Portanto o limite é
.
Passo 3
(b) Resolver
.
Mini-aula: quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a fração tende a
. Uma forma formal é dividir numerador e denominador pela maior potência de
, aqui
.
Dividindo:
Ao fazer
, todos os termos
vão para
. Assim o numerador tende a
e o denominador tende a
, logo o quociente tende a
.
Portanto o limite é
.
Passo 4
(c) Resolver
.
Mini-aula: quando numerador e denominador têm o mesmo grau (aqui ambos grau
), o limite, quando existe, é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Formalmente divide-se tudo por
.
Fazendo:
Ao fazer
, os termos com potências negativas de
vão a
. Assim a expressão tende a
.
Observação sobre sinal: como ambos os polinômios são dominados pelos termos cúbicos, cujo sinais são dados pelos coeficientes
e
, o limite é positivo
independentemente do sinal de
.
Passo 5
(d) Resolver
.
Mini-aula: cuidado com radicais:
. Para
, tem-se
(pois
é negativo). Uma técnica é fatorar
do radical:
Para
temos
e
. Então
Ao fazer
,
e
. Logo o quociente tende a
.
Portanto o limite é
.
Passo 6
(e) Resolver
.
Mini-aula: novamente usar
. Escrevemos
. Para
temos
. Dividindo numerador e denominador por
(ou por
):
Como
,
,
, e
. Assim o limite é
Então o limite vale
.
Passo 7
(f) Resolver
.
Mini-aula: a expressão é uma diferença entre termos que crescem como
, então o comportamento é do tipo “infinito menos infinito” — forma indeterminada. Uma técnica clássica é multiplicar por
escrita como a conjugada sobre si mesma (racionalização):
Multiplico por
:
Agora ao fazer
, o denominador
, então a fração tende a
. Observação do sinal: o numerador é
, denominador positivo grande, então a expressão tende a
por valores negativos; de qualquer forma o limite é
.
Passo 8
(g) Resolver
.
Mini-aula rápida: a função exponencial
tende a
quando
, e tende a
quando
. Aqui o expoente é
. Quando
, tem-se
, então
. Logo
Portanto o limite é
.
Passo 9
(h) Resolver
.
Mini-aula: para
,
. Em seguida
também tende a
(mesmo que mais lentamente). A constante
é apenas um número fixo. Logo a diferença tende a
. Mais formalmente:
Como
e
, pela composição obtemos
. Subtraindo a constante
não muda o comportamento infinito: o limite é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)