Exercício 3. Calcule \lim _{x \rightarrow 0} x^{3} sen \left(\frac{2}{x}\right). Podemos utilizar a propriedade que \lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \lim _{x \rightarrow a} g(x). Por quê?

Passo 1

O enunciado pede: calcular \lim_{x\rightarrow 0} x^{3}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right) e justificar se podemos usar a propriedade
\lim_{x\rightarrow a} f(x)g(x)=\lim_{x\rightarrow a} f(x)\cdot \lim_{x\rightarrow a} g(x).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função a estudar é x^{3}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right).
  • A função \sin\!\left(\frac{2}{x}\right) é oscilante quando x\to 0 (o argumento \tfrac{2}{x} vai para infinito).
  • A propriedade citada só vale sob certas hipóteses (o enunciado pergunta exatamente por quê).

Passo 2

Primeiro: a propriedade mencionada (produto de limites) exige que os limites individuais existam. Em termos formais:
\text{Se } \lim_{x\to a} f(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} g(x)=M, \quad\text{então}\quad \lim_{x\to a} f(x)g(x)=LM.ã
Explicação curta do porquê (intuição/prova rápida): se f(x) fica perto de L e g(x) fica perto de M quando x está próximo de a, então o produto f(x)g(x) fica perto de LM. Uma forma padrão de ver isso é escrever
f(x)g(x)-LM = (f(x)-L)g(x) + L(g(x)-M)
e usar desigualdades para controlar cada termo (este é o esqueleto de uma prova \varepsilon- \delta).
Porém, antes de aplicar essa propriedade precisamos checar se \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right) existe. Vou mostrar que esse limite NÃO existe, usando sequências:
  • Tome x_n = \frac{2}{\frac{\pi}{2}+2\pi n} para n inteiro grande. Então \sin\!\left(\frac{2}{x_n}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)=1 e x_n\to 0.
  • Tome y_n = \frac{2}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}. Então \sin\!\left(\frac{2}{y_n}\right)=\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right)=-1 e y_n\to 0.
    Como há duas sequências que se aproximam de 0 mas cujo \sin\!\left(\frac{2}{\cdot}\right) tem limites distintos ( 1 e -1), segue que
\lim_{x\to 0}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right)
não existe. Logo não podemos usar diretamente a propriedade do produto de limites que exige existência de ambos os limites.

Passo 3

Agora a boa notícia: mesmo sem existir \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right), existe outro resultado muito útil que podemos usar aqui. Mini-aula curta sobre duas ferramentas:
  1. Propriedade de função limitada multiplicada por função que tende a zero:
    Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e g(x) é limitada perto de a (ou seja, existe K>0 e uma vizinhança de a onde |g(x)|\le K), então
\lim_{x\to a} f(x)g(x)=0.
Prova rápida: como |g(x)|\le K temos |f(x)g(x)|\le K|f(x)|. Como |f(x)|\to 0, pelo teorema do confronto (squeeze) obtemos |f(x)g(x)|\to 0, portanto f(x)g(x)\to 0.
  1. Teorema do confronto (squeeze theorem):
    Se h(x)\le F(x)\le k(x) numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a} h(x)=\lim_{x\to a} k(x)=L, então \lim_{x\to a} F(x)=L.
    Prova curta: a desigualdade força F(x) a ficar entre duas funções que se aproximam de L, logo F(x) também deve se aproximar de L.

Passo 4

Aplicando essas ideias ao nosso problema. Primeiro note a desigualdade elementar para o seno:
-1 \le \sin\!\left(\frac{2}{x}\right) \le 1\quad\text{para todo }x\ne 0.
Multiplicando por x^{3} (observe cuidado com o sinal, usaremos valor absoluto), obtemos
-|x^{3}|\le x^{3}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right)\le |x^{3}|.
Isto vale porque |\sin(\cdot)|\le 1 implica |x^{3}\sin(\cdot)|\le |x^{3}|, e a forma escrita acima dá as duas cotas para usar o teorema do confronto.

Passo 5

Calcule agora os limites das funções que comprimem a nossa:
\lim_{x\to 0} -|x^{3}|=0,\qquad \lim_{x\to 0} |x^{3}|=0.
Pelo teorema do confronto, como
-|x^{3}|\le x^{3}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right)\le |x^{3}|
e ambas as funções extremas têm limite 0 quando x\to 0, segue que
\lim_{x\to 0} x^{3}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right)=0.
Alternativamente, usando a propriedade da mini-aula: \sin\!\left(\frac{2}{x}\right) é limitada por 1 em módulo, e \lim_{x\to 0} x^{3}=0, logo o produto tende a 0.

Passo 6

Resumo e resposta ao porquê da pergunta original: não podemos usar diretamente
\lim_{x\to 0} x^{3}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right)=\left(\lim_{x\to 0} x^{3}\right)\left(\lim_{x\to 0}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right)\right)
porque a propriedade só vale se ambos os limites do lado direito existirem; aqui \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right) não existe. Em vez disso usamos que x^{3}\to 0 e \sin\!\left(\frac{2}{x}\right) é limitada, o que garante que o produto tende a 0.

Resposta

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