Exercício 3. Calcule
sen
. Podemos utilizar a propriedade que
. Por quê?
Passo 1
O enunciado pede: calcular
e justificar se podemos usar a propriedade
Informações dadas e observações imediatas:
- A função a estudar é
. - A função
é oscilante quando (o argumento vai para infinito). - A propriedade citada só vale sob certas hipóteses (o enunciado pergunta exatamente por quê).
Passo 2
Primeiro: a propriedade mencionada (produto de limites) exige que os limites individuais existam. Em termos formais:
Explicação curta do porquê (intuição/prova rápida): se
fica perto de
e
fica perto de
quando
está próximo de
, então o produto
fica perto de
. Uma forma padrão de ver isso é escrever
e usar desigualdades para controlar cada termo (este é o esqueleto de uma prova
-
).
Porém, antes de aplicar essa propriedade precisamos checar se
existe. Vou mostrar que esse limite NÃO existe, usando sequências:
- Tome
para inteiro grande. Então e . - Tome
. Então e .
Como há duas sequências que se aproximam demas cujo tem limites distintos ( e ), segue que
não existe. Logo não podemos usar diretamente a propriedade do produto de limites que exige existência de ambos os limites.
Passo 3
Agora a boa notícia: mesmo sem existir
, existe outro resultado muito útil que podemos usar aqui. Mini-aula curta sobre duas ferramentas:
- Propriedade de função limitada multiplicada por função que tende a zero:
See é limitada perto de (ou seja, existe e uma vizinhança de onde ), então
Prova rápida: como
temos
. Como
, pelo teorema do confronto (squeeze) obtemos
, portanto
.
- Teorema do confronto (squeeze theorem):
Senuma vizinhança de (exceto possivelmente em ) e , então .
Prova curta: a desigualdade forçaa ficar entre duas funções que se aproximam de , logo também deve se aproximar de .
Passo 4
Aplicando essas ideias ao nosso problema. Primeiro note a desigualdade elementar para o seno:
Multiplicando por
(observe cuidado com o sinal, usaremos valor absoluto), obtemos
Isto vale porque
implica
, e a forma escrita acima dá as duas cotas para usar o teorema do confronto.
Passo 5
Calcule agora os limites das funções que comprimem a nossa:
Pelo teorema do confronto, como
e ambas as funções extremas têm limite
quando
, segue que
Alternativamente, usando a propriedade da mini-aula:
é limitada por
em módulo, e
, logo o produto tende a
.
Passo 6
Resumo e resposta ao porquê da pergunta original: não podemos usar diretamente
porque a propriedade só vale se ambos os limites do lado direito existirem; aqui
não existe. Em vez disso usamos que
e
é limitada, o que garante que o produto tende a
.