Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}+x+1}{x-1}, & \text { se } x<1 \\\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}, & \text { se } x \geq 1\end{cases}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A função é definida por partes:f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}+x+1}{x-1}, & \text{se } x<1,\\[6pt] \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}, & \text{se } x\ge 1. \end{cases}
O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais da curva (ou seja, do gráfico de f).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O ramo para x<1 é uma função racional com denominador x-1 (possível problema em x=1).
O ramo para x\ge 1 é \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}, que é a função hiperbólica \operatorname{tanh}(x).]
Passo 2
Definições e critérios que vou usar (aulas curtinhas antes de aplicar):
Assíntota vertical em x=a: ocorre quando pelo menos um dos limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) ou \lim_{x\to a^+} f(x) é +\infty ou -\infty. Em palavras: a função “explode” para infinito ao se aproximar de a por algum lado.
Assíntota horizontal y=L: ocorre quando \lim_{x\to +\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty} f(x)=L. Em outras palavras, para x muito grande positivo ou muito grande negativo a função tende a uma constante L.
Vou checar:
Possíveis assíntotas verticais onde o denominador do ramo racional zera (isto é, em x=1).
Limites quando x\to+\infty e x\to-\infty para verificar horizontais (cada ramo tem domínio apropriado: ramo racional cobre (-\infty,1), ramo hiperbólico cobre [1,+\infty)).
Passo 3
Verificação da assíntota vertical em x=1.
Para x<1 a função é \dfrac{x^{2}+x+1}{x-1}. No ponto x=1 o denominador zera. Calculo o limite lateral pela esquerda:
\lim_{x\to 1^-}\dfrac{x^{2}+x+1}{x-1}.
Avaliando o numerador em x=1 temos 1^{2}+1+1=3>0. Quando x\to 1^- o denominador x-1 tende para 0 pela esquerda, ou seja, para um número negativo muito pequeno. Portanto a fração tende a -\infty. Formalmente:
\lim_{x\to 1^-}\dfrac{x^{2}+x+1}{x-1}=-\infty.
Para o lado direito, x\to 1^+, a definição da função é f(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\operatorname{tanh}(x). Esse ramo é contínuo em x=1, então
(Outra maneira: dividir numerador e denominador por e^{x} dá \dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}.)
Portanto há uma assíntota horizontal y=1 para x\to +\infty.
Comportamento quando x\to -\infty.
Para x\to -\infty só o ramo racional \dfrac{x^{2}+x+1}{x-1} se aplica, porque esse ramo vale para x<1.
Para estudar o comportamento em infinito usamos divisão polinomial para separar a parte polinomial da parte que tende a zero:
pois a parcela dominante é x+2 que tende a -\infty quando x\to -\infty. Logo NÃO existe assíntota horizontal em -\infty. (Observação didática: existe, porém, uma assíntota oblíqua/linear dada por y=x+2 para o ramo racional, porque a diferença entre a função e a reta x+2 tende a zero quando |x|\to\infty. Mas como o enunciado pediu apenas assíntotas horizontais e verticais, essa é informação adicional.)
Passo 5
Resumo e interpretação final (rápida e motivadora):
Encontramos que em x=1 o ramo à esquerda explode para -\infty enquanto o ramo à direita é finito; por isso existe assíntota vertical em x=1.
Para grandes x positivos a parte hiperbólica tende para 1, então existe assíntota horizontal y=1 quando x\to +\infty.
Para x\to -\infty o ramo racional cresce (no sentido que tende a -\infty) e não tem assíntota horizontal; em vez disso tem assíntota oblíqua y=x+2 (comentário extra).
Força aí — você já tem o resultado principal: uma assíntota vertical e uma horizontal para a função inteira.