Calcule os limites a seguir:
(a) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} x^{3} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)
(b) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\cos x-1}{x}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado.
Pede (a) o valor de \lim_{x\to 0^{-}} x^{3}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right).
Pede (b) o valor de \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\cos x - 1}{x}.
Informações relevantes que temos (diretamente do enunciado e fatos básicos sobre as funções trigonométricas):
A função \operatorname{sen}(t) satisfaz -1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1 para todo t.
A função \cos(t) satisfaz -1 \le \cos(t) \le 1 para todo t.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas com calma):
Teorema do Confronto (Teorema do Squeeze):
Se existem funções g(x), f(x), h(x) tais que, numa vizinhança do ponto considerado (exceto talvez no próprio ponto),
g(x)\le f(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Ou seja, se f fica “preso” entre duas que convergem para o mesmo limite L, então f também converge para L. É uma ferramenta ótima quando temos um fator oscilante (como \operatorname{sen} ou \cos) multiplicado por algo que tende a zero.
Propriedade de função limitada dividida por algo que vai ao infinito:
Se N(x) é uma função limitada (isto é, existe M>0 tal que |N(x)|\le M para todos x suficientemente grandes) e se D(x)\to +\infty, então \dfrac{N(x)}{D(x)}\to 0. Intuição: numerador não cresce, denominador cresce sem limite, então a razão tende a zero.
Vou usar essas ideias explicitamente em cada item.
Passo 3
Resolução do item (a): \lim_{x\to 0^{-}} x^{3}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right).
Observe que, para todo t, vale -1\le \operatorname{sen}(t)\le 1. Em particular, tomando t=\dfrac{1}{x^{3}} (definido para x\neq0), temos
Como \lim_{x\to 0^{-}} -|x^{3}| = 0 e \lim_{x\to 0^{-}} |x^{3}| = 0 (porque |x^{3}|=(|x|)^{3} e |x|\to 0 quando x\to 0^{-}), os limites das funções que “prendem” nossa função são ambos 0.
Comentário intuitivo: mesmo que \operatorname{sen}(1/x^{3}) oscile muito quando x\to 0, o fator x^{3} tende a zero rápido o suficiente para “anular” essa oscilação, levando o produto a zero.
Passo 4
Resolução do item (b): \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\cos x - 1}{x}.
Primeiro, note que para todo x vale -1\le \cos x \le 1. Subtraindo 1 em todas as partes obtemos
-2 \le \cos x - 1 \le 0.
Para x>0 (estamos checando x\to +\infty), dividimos essa desigualdade por x (positivo), obtendo
-\dfrac{2}{x} \le \dfrac{\cos x - 1}{x} \le 0.
Agora calcule os limites das funções que prendem a expressão: \lim_{x\to +\infty} -\dfrac{2}{x} = 0 e \lim_{x\to +\infty} 0 = 0. Então as duas funções de limite coincidem e valem 0.
Pelo Teorema do Confronto (ou pela ideia de numerador limitado e denominador tendendo a infinito), segue que
\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\cos x - 1}{x} = 0.
Comentário intuitivo: \cos x -1 fica sempre entre -2 e 0, ou seja, é uma quantidade limitada. Como dividimos por x que cresce sem limite, a razão tende a zero.