Calcule os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{7 x^{2}-\operatorname{sen}(3 x)}{x^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{7x^{2}-\sin(3x)}{x^{2}+2}.
O conteúdo principal é limite de funções racionais em que o numerador e o denominador têm o mesmo grau, somado ao fato de que \sin(3x) é uma função limitada. Vamos usar divisão por x^{2} para isolar os termos dominantes e aplicar limites conhecidos.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{2}, obtendo
\frac{7x^{2}-\sin(3x)}{x^{2}+2} =\frac{x^{2}\bigl(7 - \frac{\sin(3x)}{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\bigl(1 + \frac{2}{x^{2}}\bigr)} =\frac{7 - \dfrac{\sin(3x)}{x^{2}}}{1 + \dfrac{2}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora analisamos os limites dos termos secundários:
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sin(3x)}{x^{2}} = 0, \qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{2}{x^{2}} = 0,
pois \sin(3x) é limitado entre -1 e 1 e x^{2}\to+\infty.

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão fatorada, temos
\lim_{x\to -\infty}\frac{7 - \frac{\sin(3x)}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x^{2}}} =\frac{7 - 0}{1 + 0} =7.

Resposta

7

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