Derive as funções trigonométricas inversas a seguir:
f(x)=\arctan \left(\cos \left(2 x^{5}+x^{2}\right)\right)+2 x^{2} \operatorname{arcsen}\left(\sqrt{x^{4}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\arctan\bigl(\cos(2x^{5}+x^{2})\bigr)+2x^{2}\,\operatorname{arcsen}\bigl(\sqrt{x^{4}-1}\bigr).
Aqui vamos usar:
  1. Regra da cadeia e derivada de \arctan(u).
  2. Derivada de funções trigonométricas compostas.
  3. Regra do produto e derivada de \operatorname{arcsen}(w).

Passo 2

Considere o primeiro termo
f_{1}(x)=\arctan\bigl(\cos(2x^{5}+x^{2})\bigr).
Pela regra da cadeia,
f_{1}'(x)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}},
onde u(x)=\cos(2x^{5}+x^{2}).

Passo 3

Agora derivamos u(x). Como u(x)=\cos(v(x)) com v(x)=2x^{5}+x^{2}, temos
u'(x)=-\sin\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x) =-\sin(2x^{5}+x^{2})\,(10x^{4}+2x).
Logo,
f_{1}'(x) =\frac{-(10x^{4}+2x)\,\sin(2x^{5}+x^{2})}{1+\cos^{2}(2x^{5}+x^{2})}.

Passo 4

Agora o segundo termo
f_{2}(x)=2x^{2}\,\operatorname{arcsen}\bigl(\sqrt{x^{4}-1}\bigr).
Aplicamos a regra do produto:
f_{2}'(x) =2\bigl[(x^{2})'\,\operatorname{arcsen}(\sqrt{x^{4}-1}) +x^{2}\,\bigl(\operatorname{arcsen}(\sqrt{x^{4}-1})\bigr)'\bigr].

Passo 5

Derivada de \operatorname{arcsen}(w) com w(x)=\sqrt{x^{4}-1}:
\bigl(\operatorname{arcsen}(w)\bigr)' =\frac{w'(x)}{\sqrt{1-w(x)^{2}}} =\frac{w'(x)}{\sqrt{1-(\sqrt{x^{4}-1})^{2}}} =\frac{w'(x)}{\sqrt{2-x^{4}}}.
E
w'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-1\bigr)^{1/2} =\frac{1}{2\sqrt{x^{4}-1}}\cdot 4x^{3} =\frac{2x^{3}}{\sqrt{x^{4}-1}}.
Portanto
\bigl(\operatorname{arcsen}(\sqrt{x^{4}-1})\bigr)' =\frac{2x^{3}}{\sqrt{x^{4}-1}\,\sqrt{2-x^{4}}}.

Passo 6

Substituindo em f_{2}'(x):
f_{2}'(x) =2\Bigl[2x\,\operatorname{arcsen}(\sqrt{x^{4}-1}) +x^{2}\,\frac{2x^{3}}{\sqrt{x^{4}-1}\,\sqrt{2-x^{4}}}\Bigr] =4x\,\operatorname{arcsen}(\sqrt{x^{4}-1}) +\frac{4x^{5}}{\sqrt{x^{4}-1}\,\sqrt{2-x^{4}}}.

Passo 7

Combinando f'(x)=f_{1}'(x)+f_{2}'(x), obtemos
f'(x) =-\frac{(10x^{4}+2x)\,\sin(2x^{5}+x^{2})}{1+\cos^{2}(2x^{5}+x^{2})} +4x\,\operatorname{arcsen}\bigl(\sqrt{x^{4}-1}\bigr) +\frac{4x^{5}}{\sqrt{x^{4}-1}\,\sqrt{2-x^{4}}}.

Resposta

f'(x) =-\frac{(10x^{4}+2x)\,\sin\bigl(2x^{5}+x^{2}\bigr)}{1+\cos^{2}\bigl(2x^{5}+x^{2}\bigr)} +4x\,\operatorname{arcsen}\bigl(\sqrt{x^{4}-1}\bigr) +\frac{4x^{5}}{\sqrt{x^{4}-1}\,\sqrt{2-x^{4}}}.

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