Utilizando as substituições adequadas, calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{1-\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{1-\cos(x)}.
O conteúdo é cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas, e vamos usar os limites notáveis \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1
e \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\tfrac12.

Passo 2

Para explorar esses limites, dividimos numerador e denominador por x^2:
\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{1-\cos(x)} =\frac{\operatorname{sen}(x^{2})/x^{2}}{\bigl(1-\cos(x)\bigr)/x^{2}}.

Passo 3

Analisamos o numerador: ao definir u=x^2, quando x\to0 temos u\to0, então
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{2}} =\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} =1.

Passo 4

Analisamos o denominador usando o desenvolvimento de Taylor ou o limite notável:
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}} =\tfrac12.

Passo 5

Portanto, juntando os resultados:
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{1-\cos(x)} =\frac{1}{\tfrac12} =2.

Resposta

2

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