Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A expressão envolve uma raiz quadrada com termo dominante
quando é grande. - A variável tende para
(ou seja, é muito negativa).
O que se quer: determinar se esse limite é um número finito,ou , e encontrar o seu valor.
Passo 2
Estratégia didática (o truque usado na prova): identificar o termo dominante dentro da raiz e escrever a raiz fatorando
, para evidenciar o comportamento quando
é grande. Isso evita manipulações complexas e dá uma visão clara do crescimento da expressão. Também é importante lembrar a relação
pois isso muda dependendo do sinal de
.
Passo 3
Fatorando
dentro da raiz:
Portanto a expressão do limite fica
Passo 4
Agora use que
implica
para valores suficientemente grandes em módulo, daí
. Substituindo:
Aqui escrevi a expressão como produto de duas parcelas:
e
.
Passo 5
Analise o limite das duas parcelas separadamente:
- Quando
temos (porque tirar o sinal de um número muito negativo dá um número muito positivo). - Quando
temos , portanto
e assim
ou seja, essa segunda parcela tende a
, que é um número positivo e finito.
Produto de uma parcela que tende a
por outra que tende a
tende a
. Logo
Passo 6
Comentário rápido (checagem alternativa): se preferir racionalizar, multiplicando por conjugado obtém-se a expressão equivalente
e analisando o comportamento dessa fração também se conclui que o numerador tende a
e o denominador tende a um número negativo (próximo de
), de modo que o quociente tende a
. As duas abordagens concorrem para a mesma conclusão.