Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+3 x}-2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{4x^{2}+3x}-2x\right).
Informações dadas:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada com termo dominante 4x^{2} quando |x| é grande.
  • A variável tende para -\infty (ou seja, x é muito negativa).
    O que se quer: determinar se esse limite é um número finito, +\infty ou -\infty, e encontrar o seu valor.

Passo 2

Estratégia didática (o truque usado na prova): identificar o termo dominante dentro da raiz e escrever a raiz fatorando x^{2}, para evidenciar o comportamento quando |x| é grande. Isso evita manipulações complexas e dá uma visão clara do crescimento da expressão. Também é importante lembrar a relação
\sqrt{x^{2}}=|x|,
pois isso muda dependendo do sinal de x.

Passo 3

Fatorando x^{2} dentro da raiz:
\sqrt{4x^{2}+3x}=\sqrt{x^{2}\left(4+\frac{3}{x}\right)}=|x|\sqrt{4+\frac{3}{x}}.
Portanto a expressão do limite fica
\sqrt{4x^{2}+3x}-2x = |x|\sqrt{4+\frac{3}{x}}-2x.

Passo 4

Agora use que x\to-\infty implica x<0 para valores suficientemente grandes em módulo, daí |x|=-x. Substituindo:
|x|\sqrt{4+\frac{3}{x}}-2x = -x\sqrt{4+\frac{3}{x}}-2x = -x\Bigl(\sqrt{4+\frac{3}{x}}+2\Bigr).
Aqui escrevi a expressão como produto de duas parcelas: -x e \sqrt{4+\dfrac{3}{x}}+2.

Passo 5

Analise o limite das duas parcelas separadamente:
  • Quando x\to-\infty temos -x\to+\infty (porque tirar o sinal de um número muito negativo dá um número muito positivo).
  • Quando x\to-\infty temos \dfrac{3}{x}\to 0, portanto
\sqrt{4+\frac{3}{x}}\longrightarrow \sqrt{4}=2,
e assim
\sqrt{4+\frac{3}{x}}+2 \longrightarrow 2+2=4,
ou seja, essa segunda parcela tende a 4, que é um número positivo e finito.
Produto de uma parcela que tende a +\infty por outra que tende a 4>0 tende a +\infty. Logo
-x\Bigl(\sqrt{4+\frac{3}{x}}+2\Bigr)\longrightarrow +\infty.

Passo 6

Comentário rápido (checagem alternativa): se preferir racionalizar, multiplicando por conjugado obtém-se a expressão equivalente
\sqrt{4x^{2}+3x}-2x=\frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}+2x},
e analisando o comportamento dessa fração também se conclui que o numerador tende a -\infty e o denominador tende a um número negativo (próximo de -3/4), de modo que o quociente tende a +\infty. As duas abordagens concorrem para a mesma conclusão.

Resposta

+\infty

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