Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to 0} x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações dadas (explícitas na expressão):
  • A função considerada é f(x)=x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right).
  • O ponto de interesse para o limite é x\to 0.
    Não há outras informações externas; a resolução seguirá apenas dessas informações.

Passo 2

O que é o Teorema do Confronto (esqueeze/sandwich) — explicação didática.
  • O teorema diz: se existem funções g(x), f(x) e h(x) tais que, numa vizinhança de a (exceto talvez em a próprio),
g(x)\le f(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
  • Em palavras: se f fica “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite L em a, então f também tende a L.
  • Aqui cada símbolo significa: a é o ponto para o qual x se aproxima (no nosso caso a=0); g,h são funções que dominam inferior e superiormente f; L é o limite comum das dominantes.

Passo 3

Encontrar funções g e h que prendam f(x)=x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right).
  • Sabemos uma propriedade básica da função seno: para todo número real t vale
-1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1.
  • Substituindo t=\dfrac{1}{x^{2}} obtemos, para todo x\neq 0,
-1 \le \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \le 1.
  • Agora multiplicamos essa desigualdade por x^{2}. Aqui é importante observar que x^{2}\ge 0 sempre, então a direção das desigualdades se preserva. Multiplicando tudo por x^{2} resulta
- x^{2} \le x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \le x^{2},
ou seja,
- x^{2} \le f(x) \le x^{2},\quad \text{para todo } x\neq 0.
Assim escolhemos g(x)=-x^{2} e h(x)=x^{2}.

Passo 4

Calcular os limites das funções dominantes g e h quando x\to 0.
  • Para h(x)=x^{2}: como x\to 0 tem-se x^{2}\to 0. Uma justificativa simples: |x^{2}|=|x|^{2} e como |x|\to 0, seu quadrado também tende a 0. Portanto
\lim_{x\to 0} x^{2}=0.
  • Para g(x)=-x^{2} segue imediatamente que
\lim_{x\to 0} -x^{2} = -\,\lim_{x\to 0} x^{2} = -0 = 0.
Logo as duas funções dominantes têm o mesmo limite L=0.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Confronto.
  • Temos, para x\neq 0,
- x^{2} \le x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \le x^{2},
e já mostramos que
\lim_{x\to 0} (-x^{2})=\lim_{x\to 0} x^{2}=0.
Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária tem o mesmo limite:
\lim_{x\to 0} x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=0.

Resposta

0

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