Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (explícitas na expressão):
- A função considerada é
. - O ponto de interesse para o limite é
.
Não há outras informações externas; a resolução seguirá apenas dessas informações.
Passo 2
O que é o Teorema do Confronto (esqueeze/sandwich) — explicação didática.
- O teorema diz: se existem funções
, e tais que, numa vizinhança de (exceto talvez em próprio),
e se
então
- Em palavras: se
fica “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite em , então também tende a . - Aqui cada símbolo significa:
é o ponto para o qual se aproxima (no nosso caso ); são funções que dominam inferior e superiormente ; é o limite comum das dominantes.
Passo 3
Encontrar funções
e
que prendam
.
- Sabemos uma propriedade básica da função seno: para todo número real
vale
- Substituindo
obtemos, para todo ,
- Agora multiplicamos essa desigualdade por
. Aqui é importante observar que sempre, então a direção das desigualdades se preserva. Multiplicando tudo por resulta
ou seja,
Assim escolhemos
e
.
Passo 4
Calcular os limites das funções dominantes
e
quando
.
- Para
: como tem-se . Uma justificativa simples: e como , seu quadrado também tende a . Portanto
- Para
segue imediatamente que
Logo as duas funções dominantes têm o mesmo limite
.
Passo 5
Aplicar o Teorema do Confronto.
- Temos, para
,
e já mostramos que
Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária tem o mesmo limite: