Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x+5}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3x+5}{x-4}.
Informações dadas:
  • A função é \dfrac{3x+5}{x-4}.
  • O ponto de interesse é x\rightarrow -\infty (ou seja, x tende a valores muito negativos).
  • O pedido é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Ideia principal (intuição que vai ajudar na prova): em racionais onde o numerador e o denominador são polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento quando |x| é muito grande. Aqui os termos de maior grau em numerador e denominador são ambos de grau 1 (são 3x e x). Uma forma rigorosa e simples de usar essa ideia é dividir numerador e denominador por x (o maior grau).
Observação técnica importante: quando x\rightarrow -\infty temos \dfrac{1}{x}\rightarrow 0. O sinal de x (negativo) não impede que \dfrac{1}{x} tenda a 0; apenas determina de que lado (negativo) ele se aproxima, mas o limite é 0.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x (válido para x\neq 0, e para limites em infinito isso é permitido):
\frac{3x+5}{x-4}=\frac{x\left(3+\dfrac{5}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{4}{x}\right)}=\frac{3+\dfrac{5}{x}}{1-\dfrac{4}{x}}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite em cada termo conhecido:
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{3+\dfrac{5}{x}}{1-\dfrac{4}{x}} =\frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(3+\dfrac{5}{x}\right)}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1-\dfrac{4}{x}\right)}.
Como \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{5}{x}=0 e \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{4}{x}=0, obtemos
\frac{3+0}{1-0}=3.

Passo 5

Método alternativo (útil para fixar): fazer divisão polinomial. Calcula-se
\frac{3x+5}{x-4}=3+\frac{17}{x-4},
pois 3(x-4)=3x-12 e (3x+5)-(3x-12)=17. Como \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{17}{x-4}=0, o limite também dá 3. Dois caminhos, mesma resposta — escolha o que preferir na prova.

Passo 6

Resumo motivacional: a ideia-chave é que, para x muito grande em módulo, os termos de maior grau dominam; dividir por x ou fazer divisão de polinômios torna isso explícito. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no processo!

Resposta

3

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