Seja f(x) uma função tal que |f(x)| \leq x^{4}, para todo x real. Calcule \lim _{x \rightarrow 0} f(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte informação e pede uma coisa simples e direta.
  • Informação dada: para todo x\in\mathbb{R} vale |f(x)| \leq x^{4}.
  • O que pedem: calcular \lim_{x\to 0} f(x).

Passo 2

Transformar a desigualdade com valor absoluto em uma desigualdade “normal” (sem o módulo). Lembrando a propriedade básica do módulo: se |y|\le a com a\ge 0, então -a\le y\le a. Aqui y=f(x) e a=x^{4}. Como x^{4}\ge 0 para todo x, podemos escrever:
-\,x^{4}\le f(x)\le x^{4}\qquad\text{para todo }x.
Isto significa que f(x) está “presa” entre -x^{4} e x^{4} para qualquer x.

Passo 3

Calcular os limites das duas funções que prendem f(x). Primeiro note que x^{4} é um polinômio (ou apenas uma potência) e sabemos que potências são contínuas, logo:
\lim_{x\to 0} x^{4}=0.
Usando a propriedade linear dos limites (ou simplesmente sabendo que -x^{4} é a função x^{4} multiplicada por -1), obtemos:
\lim_{x\to 0} -\,x^{4} = -\lim_{x\to 0} x^{4} = -0 = 0.
Portanto as duas funções que limitam f(x) tendem para o mesmo valor 0 quando x\to 0.

Passo 4

Aplicar o teorema do aperto (teorema do sanduíche / confronto). O teorema diz: se para todo x numa vizinhança de 0 vale g(x)\le h(x)\le k(x) e \lim_{x\to 0} g(x)=\lim_{x\to 0} k(x)=L, então \lim_{x\to 0} h(x)=L.
No nosso caso temos, para todo x,
-\,x^{4}\le f(x)\le x^{4},
e já vimos que
\lim_{x\to 0}-\,x^{4}=0=\lim_{x\to 0}x^{4}.
Pelo teorema do aperto, concluímos que
\lim_{x\to 0} f(x)=0.

Passo 5

Comentário rápido para fixar: a desigualdade |f(x)|\le x^{4} diz na prática que f(x) não pode ser maior em módulo do que x^{4}. Como x^{4} fica muito pequeno quando x se aproxima de zero, f(x) também é forçado a ficar muito pequeno — por isso o limite é zero. Isso é uma técnica muito comum na prova: mostrar que uma função está “espremida” entre duas que têm o mesmo limite.

Resposta

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