Seja
uma função tal que
, para todo
real. Calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte informação e pede uma coisa simples e direta.
- Informação dada: para todo
vale . - O que pedem: calcular
.
Passo 2
Transformar a desigualdade com valor absoluto em uma desigualdade “normal” (sem o módulo). Lembrando a propriedade básica do módulo: se
com
, então
. Aqui
e
. Como
para todo
, podemos escrever:
Isto significa que
está “presa” entre
e
para qualquer
.
Passo 3
Calcular os limites das duas funções que prendem
. Primeiro note que
é um polinômio (ou apenas uma potência) e sabemos que potências são contínuas, logo:
Usando a propriedade linear dos limites (ou simplesmente sabendo que
é a função
multiplicada por
), obtemos:
Portanto as duas funções que limitam
tendem para o mesmo valor
quando
.
Passo 4
Aplicar o teorema do aperto (teorema do sanduíche / confronto). O teorema diz: se para todo
numa vizinhança de
vale
e
, então
.
No nosso caso temos, para todo
,
e já vimos que
Pelo teorema do aperto, concluímos que
Passo 5
Comentário rápido para fixar: a desigualdade
diz na prática que
não pode ser maior em módulo do que
. Como
fica muito pequeno quando
se aproxima de zero,
também é forçado a ficar muito pequeno — por isso o limite é zero. Isso é uma técnica muito comum na prova: mostrar que uma função está “espremida” entre duas que têm o mesmo limite.