Calcule os limites a seguir.
\lim _{\substack{x \rightarrow-1 \\\ y \rightarrow 2}}\left(\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
\displaystyle f(x,y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(-1,2). O conteúdo é cálculo de limite usando continuidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Verificamos o denominador no ponto de chegada:
(-1)^{2}+2^{2}=1+4=5\neq0,
logo não há indeterminação e f é contínua em (-1,2).

Passo 3

Pela continuidade, basta substituir (x,y)=(-1,2) em f:
numerador: (-1)^{3}+2^{3}=-1+8=7,
denominador: 5.
Portanto,
\lim_{\substack{x\to-1\y\to2}} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{7}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{5}

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