Mostre que
F(x)=\left(2-2 x+x^{2}\right) \mathrm{e}^{x}
6 uma primitiva de
f(x)=x^{2} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
F(x) = \bigl(2 - 2x + x^2\bigr)e^x
é uma primitiva de
f(x) = x^2 e^x.
Isto significa que precisamos verificar que
F'(x) = f(x).
Para isso, vamos usar a regra do produto e a derivada de e^x.

Passo 2

Seja
u(x) = 2 - 2x + x^2,
então
F(x) = u(x)\,e^x.
Pela regra do produto, temos
F'(x) = u'(x)\,e^x + u(x)\,\bigl(e^x\bigr)'.
Como \bigl(e^x\bigr)'=e^x, isso simplifica para
F'(x) = \bigl(u'(x) + u(x)\bigr)\,e^x.

Passo 3

Agora derivamos u(x). Como
u(x) = 2 - 2x + x^2,
então
u'(x) = -2 + 2x.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em
F'(x) = \bigl(u'(x) + u(x)\bigr)\,e^x
obtemos
F'(x) = \bigl(-2 + 2x + (2 - 2x + x^2)\bigr)\,e^x = \bigl(x^2\bigr)\,e^x = x^2 e^x.
Portanto,
F'(x)=f(x).

Resposta

Como F'(x)=x^2 e^x=f(x), concluímos que F(x)=(2-2x+x^2)e^x é de fato uma primitiva de f(x)=x^2 e^x.

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