Calcule os limites a seguir.
\lim _{\substack{x \rightarrow 4 \\\ y \rightarrow \pi}} x^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\lim_{\substack{x\to4\y\to\pi}} x^{2}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr).
O conteúdo aqui é de limites de funções de duas variáveis e uso de continuidade/composição de funções para avaliar o limite.

Passo 2

Definimos a função
f(x,y)=x^{2}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr).
Num ponto próximo de (4,\pi), temos x\neq0, então \frac{y}{x} é bem definido e a senóide é contínua. Como produto e composição de funções contínuas é contínuo, podemos usar a propriedade
\lim_{(x,y)\to(4,\pi)}f(x,y) =f\bigl(4,\pi\bigr).

Passo 3

Substituindo diretamente x=4 e y=\pi, obtemos
f(4,\pi) =4^{2}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr) =16\cdot\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Como \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, concluímos
16\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}.

Resposta

8\sqrt{2}

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