Calcule os limites a seguir:
lim t 1(t e^-t, t^3+t2 t^3-1, t sen(1 / t)).

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 para a função vetorial . Isso envolve usar conhecimentos de cálculo de limites para funções exponenciais, racionais e trigonométricas. Vamos resolver cada componente passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular limt 1 t e^-t = 1 cdot e^-1 = e^-1 .
Sabemos que é a função exponencial negativa, e ambas as funções e são contínuas. Portanto, podemos substituir diretamente :

Passo 3

Agora, vamos calcular limt 1 t^3+t2 t^3-1 = 1^3 + 12 cdot 1^3 - 1 = 1 + 12 - 1 = 21 = 2 .
Essa é uma função racional, ou seja, uma fração de polinômios. Como o denominador não se anula em (pois ), podemos substituir diretamente:

Passo 4

Por fim, vamos calcular .
A função seno é limitada entre -1 e 1, ou seja, . Multiplicando por - t <= t sen(1t) <= t próximo a 1:
Quando limt 1 t sen(1t) = sen(1) se aproxima de 1, tanto limt 1 t sen(1t) = sen(1) quanto se aproximam de -1 e 1, respectivamente. Assim, pelo Teorema do Sandwich:
Sabemos que é aproximadamente 0,8415, mas podemos deixar em termos exatos:

Resposta

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