Defina curvatura de uma curva e disserte sobre duas formas de calcular a curvatura de uma curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para definirmos o que é a curvatura de uma curva e falarmos sobre duas maneiras de calcular essa curvatura quando temos a curva definida. Isso envolve conceitos de geometria diferencial, que estuda as propriedades das curvas e superfícies usando cálculo. Para resolver, vamos precisar entender o que é curvatura e as fórmulas básicas para calculá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a curvatura. A curvatura de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “curva” nesse ponto. Imagine uma estrada: em locais com muitas curvas, a curvatura é alta, e em trechos retos, a curvatura é zero.
Passo 3
Agora, vamos ver duas formas de calcular a curvatura de uma curva dada.
Primeira maneira: Usando coordenadas paramétricas
Se a curva está definida por funções parametrizadas
e
, a curvatura
pode ser calculada pela fórmula:
Aqui,
e
são as primeiras derivadas de
e
em relação a
, e
e
são as segundas derivadas.
Segunda maneira: Usando coordenadas cartesianas
Se a curva está dada por uma função
, a curvatura pode ser calculada pela fórmula:
Aqui,
é a primeira derivada de
em relação a
e
é a segunda derivada.
Resposta
A curvatura de uma curva mede o quanto ela está desviando de uma linha reta em cada ponto. Duas formas de calcular a curvatura são:
- Usando coordenadas paramétricas com a fórmula
. - Usando coordenadas cartesianas com a fórmula
.