Calcule os limites a seguir:
lim t 0 t cos (t)tan (t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite de quando se aproxima de 0. Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos limites e das funções trigonométricas próximas de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a visualização. Sabemos que t cos(t)tan(t) = t cos(t)sin(t)cos(t) = t cos^2(t)sin(t) pode ser escrito como . Então, substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, temos:
t cos^2(t)sin(t)
Queremos entender o comportamento dessa expressão quando se aproxima de 0. Sabemos que e é aproximadamente igual a quando está muito próximo de 0. Isso nos leva a utilizar alguns limites conhecidos.

Passo 4

Lembrando das propriedades de limites:
Vamos usar essas propriedades para simplificar nosso cálculo.

Passo 5

Dividindo e multiplicando a expressão por t cos^2(t)sin(t) = cos^2(t) cdot tsin(t) , temos:
cos^2(t) cdot tsin(t) = cos^2(t) cdot ( tsin(t) )
Agora, se rearranjarmos, fica:

Passo 6

Sabemos que , então .
Também temos , o que implica que .

Passo 7

Multiplicando os dois limites:
limt to 0 cos^2(t) cdot limt to 0 tsin(t) = 1 cdot 1 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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