Calcule os limites a seguir:
lim x 0+ sen(x)raizx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
Vamos trabalhar com conceitos de limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, precisamos entender o comportamento da função seno perto de zero e como ela se relaciona com a raiz quadrada de lim x 0^+ sen(x)raizx .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando limx 0 sen(x)x = 1 se aproxima de 0. Sabemos que:
Isso significa que, para muito pequeno, é aproximadamente igual a .

Passo 3

Agora, substituímos por sen(x)raizx approx xraizx na nossa expressão original para facilitar a análise:
Simplificando a fração:
xraizx = raizx

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de limx 0^+ raizx = 0 quando se aproxima de 0 por valores positivos:
Como tende a 0 quando se aproxima de 0, isso nos dá uma boa indicação do comportamento do limite original.

Passo 5

Outra maneira de confirmar esse resultado é usando a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada do tipo ddx sen(x) = cos(x) . Aplicando a regra:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
ddx raizx = 12raizx
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
lim x 0^+ cos(x)12raizx = lim x 0^+ 2cos(x)raizx
Sabemos que 2 times 1 times 0 = 0 e tende a 0, então:

Resposta

O valor do limite é 0.

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