Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
Vamos trabalhar com conceitos de limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, precisamos entender o comportamento da função seno perto de zero e como ela se relaciona com a raiz quadrada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando
se aproxima de 0. Sabemos que:
Isso significa que, para
muito pequeno, é aproximadamente igual a
.
Passo 3
Agora, substituímos por
na nossa expressão original para facilitar a análise:
Simplificando a fração:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
se aproxima de 0 por valores positivos:
Como
tende a 0 quando
se aproxima de 0, isso nos dá uma boa indicação do comportamento do limite original.
Passo 5
Outra maneira de confirmar esse resultado é usando a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada do tipo
. Aplicando a regra:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Sabemos que
e
tende a 0, então:
Resposta
O valor do limite é 0.