Um planeta esférico de raio
tem uma atmosfera cuja densidade
, onde
é a altitude acima da superfície,
é densidade no nível do mar e
é uma constante positiva. Determine a massa da atmosfera do planeta.
Passo 1
A questão pede a massa da atmosfera de um planeta esférico de raio
, cuja densidade varia com a altitude
segundo
. Vamos usar integração de camadas esféricas para somar toda a massa.
Passo 2
Em cada camada de espessura
a altitude
, o volume é o da casca esférica:
A densidade nessa altura é
, logo o elemento de massa é
Passo 3
Somando todas as camadas de
até
, temos
Passo 4
Para resolver a integral, expandimos
e integramos termo a termo, usando
Passo 5
Substituindo esses resultados na integral:
Resposta
M = 4\pi\mu_{0}\Bigl(\frac{R^{2}}{c} + \frac{2R}{c^{2}} + \frac{2}{c^{3}}\Bigr).