Um planeta esférico de raio R tem uma atmosfera cuja densidade mu=mu0 e^-c h, onde h é a altitude acima da superfície, mu0 é densidade no nível do mar e c é uma constante positiva. Determine a massa da atmosfera do planeta.

Passo 1

A questão pede a massa da atmosfera de um planeta esférico de raio R, cuja densidade varia com a altitude h segundo mu(h)=mu0e^-ch. Vamos usar integração de camadas esféricas para somar toda a massa.

Passo 2

Em cada camada de espessura dh a altitude h, o volume é o da casca esférica:
dV = 4pi (R + h)^2 , dh
A densidade nessa altura é mu0 e^-ch, logo o elemento de massa é
dm = mu0 e^-ch ;4pi (R + h)^2 , dh

Passo 3

Somando todas as camadas de h=0 até htoinfty, temos
M = integral0^infty dm = 4pimu0 integral0^infty (R + h)^2 e^-ch , dh

Passo 4

Para resolver a integral, expandimos
(R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2
e integramos termo a termo, usando
integral0^infty e^-ch , dh = 1c, integral0^infty h e^-ch , dh = 1c^2, integral0^infty h^2 e^-ch , dh = 2c^3

Passo 5

Substituindo esses resultados na integral:
integral0^infty(R^2 + 2Rh + h^2)e^-ch,dh = R^21c + 2R1c^2 + 2c^3

Resposta

M = 4\pi\mu_{0}\Bigl(\frac{R^{2}}{c} + \frac{2R}{c^{2}} + \frac{2}{c^{3}}\Bigr).

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