Calcule os limites a seguir:
lim t 0 pm 3 t^2-ttan (t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim t 0 pm 3 t^2-ttan (t^2). Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com limites, uma ferramenta fundamental no cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um certo valor. Aqui, queremos saber qual o valor que a expressão 3 t^2-ttan(t^2) se aproxima quando t está chegando perto de 0, tanto por valores positivos quanto negativos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e aproximações de funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar analisando o denominador da nossa fração, que é tan(t^2). Sabemos que, para valores de x próximos de 0, a tangente de x pode ser aproximada por x mesmo. Isso significa que tan(t^2) approx t^2 quando t está próximo de 0. Essa é uma aproximação útil porque simplifica a expressão.

Passo 3

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
3 t^2 - ttan(t^2) approx 3 t^2 - tt^2
Agora, vamos simplificar essa fração dividindo cada termo do numerador por t^2:
3 t^2t^2 - tt^2 = 3 - 1t

Passo 4

Agora nossa expressão ficou mais simples: 3 - 1t. Vamos analisar o comportamento dessa função quando t se aproxima de 0 por valores positivos ( t 0^+) e por valores negativos ( t 0^-).
  • Quando t 0^+: t está se aproximando de 0 por valores positivos, então 1t tende a +infty. Assim, 3 - 1t tende a -infty.
  • Quando t 0^-: t está se aproximando de 0 por valores negativos, então 1t tende a -infty. Nesse caso, 3 - 1t tende a +infty.

Resposta

Portanto, os limites são:
lim t 0^+ 3 t^2-ttan (t^2) = -infty
lim t 0^- 3 t^2-ttan (t^2) = +infty

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