Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com limites, uma ferramenta fundamental no cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um certo valor. Aqui, queremos saber qual o valor que a expressão
se aproxima quando
está chegando perto de 0, tanto por valores positivos quanto negativos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e aproximações de funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar analisando o denominador da nossa fração, que é
. Sabemos que, para valores de
próximos de 0, a tangente de
pode ser aproximada por
mesmo. Isso significa que
quando
está próximo de 0. Essa é uma aproximação útil porque simplifica a expressão.
Passo 3
Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
Agora, vamos simplificar essa fração dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 4
Agora nossa expressão ficou mais simples:
. Vamos analisar o comportamento dessa função quando
se aproxima de 0 por valores positivos (
) e por valores negativos (
).
-
Quando
: está se aproximando de 0 por valores positivos, então tende a . Assim, tende a . -
Quando
: está se aproximando de 0 por valores negativos, então tende a . Nesse caso, tende a .
Resposta
Portanto, os limites são: