(Vunesp) Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua frente, sob o ângulo de 30^circ. Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de 45^circ. A altura aproximada da torre, em metros, é:
a) 44,7 .
b) 48,8 .
c) 54,6 .
d) 60,0 .
e) 65,3 .

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma torre vertical de altura desconhecida h e um observador no nível do solo. Na posição inicial, a distância horizontal até a base da torre é x e o topo da torre é visto sob ângulo de 30°. O observador anda 40 m em direção à torre e então vê o topo sob ângulo de 45°. Para resolver, usaremos trigonometria em triângulos retângulos, especificamente a função tangente.

Passo 2

Definimos h como a altura da torre e x como a distância inicial do observador até a base. Na primeira posição, aplicando a tangente de 30° no triângulo retângulo, temos:
tan 30^circ = hx

Passo 3

Na segunda posição, a distância até a base da torre passa a ser x - 40 e o ângulo é de 45°, então:
tan 45^circ = hx - 40

Passo 4

Como tan 45^circ = 1, segue que h = x - 40. Substituindo esse valor de h na equação de tan 30^circ:
1raiz3 = x - 40x

Passo 5

Resolvendo para x, temos
x - 40x = 1 - 40x = 1raiz3 implies 40x = 1 - 1raiz3 implies x = 401 - 1/raiz3 = 60 + 20raiz3 approx 94,6 m.

Passo 6

Finalmente, calculamos a altura h usando h = x - 40:
h = (60 + 20raiz3) - 40 = 20 + 20raiz3 approx 54,6 m.

Resposta

54,6 m

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