Calcule os limites a seguir:
lim u 0^+ raizutan (u)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites na matemática, especificamente quando se aproxima de 0 pelo lado positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando está próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando se aproxima de 0. A raiz quadrada de um número muito pequeno positivo também será um número pequeno positivo. Ou seja, tende a 0 conforme se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com quando está perto de 0. Sabemos que para valores pequenos de (em radianos), é aproximadamente igual a . Essa aproximação é uma forma de simplificar a análise usando a série de Taylor ou o desenvolvimento em série.

Passo 4

Com base nessa aproximação, podemos substituir por na expressão original, já que está muito pequeno. Assim, a expressão fica aproximadamente igual a .

Passo 5

Vamos simplificar . Sabemos que , então a expressão se torna . Isso significa que estamos dividindo 1 por a raiz quadrada de .

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 0 pelo lado positivo. À medida que fica cada vez menor, (que é igual a ) cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito positivo.

Resposta

O limite é .

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