Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites na matemática, especificamente quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam quando
está próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
se aproxima de 0. A raiz quadrada de um número muito pequeno positivo também será um número pequeno positivo. Ou seja,
tende a 0 conforme
se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com
quando
está perto de 0. Sabemos que para valores pequenos de
(em radianos),
é aproximadamente igual a
. Essa aproximação é uma forma de simplificar a análise usando a série de Taylor ou o desenvolvimento em série.
Passo 4
Com base nessa aproximação, podemos substituir
por
na expressão original, já que
está muito pequeno. Assim, a expressão
fica aproximadamente igual a
.
Passo 5
Vamos simplificar
. Sabemos que
, então a expressão se torna
. Isso significa que estamos dividindo 1 por a raiz quadrada de
.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo. À medida que
fica cada vez menor,
(que é igual a
) cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito positivo.
Resposta
O limite é
.